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[原创] 哪些整数不能表示为三个数的立方和

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发表于 2019-2-9 20:47:55 来自手机 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如题
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-9 21:46:34 | 显示全部楼层
简单计算了前面几项,
  1. {4, 5, 13, 14, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 39, 40, 41, 42, 49, 50, 51, \
  2. 52, 58, 59, 67, 68, 74, 75, 76, 77, 84, 85, 86, 87, 94, 95, 103, 104, \
  3. 108, 110, 111, 112, 113, 114, 121, 122, 130, 131, 139, 140, 143, 148, \
  4. 149, 150, 156, 157, 158, 165, 166, 167, 172, 173, 175, 176, 180, 184, \
  5. 185, 193, 194, 195, 202, 203, 211, 212, 213, 220, 221, 227, 228, 229, \
  6. 230, 231, 236, 237, 238, 239, 247, 248}
复制代码
好像包含了 http://oeis.org/A156638,而且比较有意思的是,好像都是以相差为1的相邻数的形式成对出现的。
根据链接 http://oeis.org/A060464得知,截止2015年,这个问题仍然是一个开放问题。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-9 22:04:36 | 显示全部楼层
,楼主真坏, $x^3+y^3+z^3=30$ 的最小解竟然 这么恐怖。
https://www.uni-math.gwdg.de/jah ... ecubes_20070419.txt
搜索了$10^14$的解是这样的:
\[2220422932^3 + (-283059965)^3 +( -2218888517)^3 = 30\]
\[3982933876681^3 + (-636600549515)^3 +( -3977505554546)^3 = 30\]
\[134476^3 + (117367)^3 +( -159380)^3 = 39\]
\[60702901317^3+ 23961292454^3 +(-61922712865)^3 = 52\]
而根据2016年四月份提交的论文https://arxiv.org/abs/1604.07746,得知 $74$的最小解 都到了$10^15$这个数量级了,    \((−284650292555885)^3 + 66229832190556^3 + 283450105697727^3 = 74 \)
====

点评

http://www.javaist.com/rosecode/problem-408-Sum-of-three-cubes-askyear-2017  发表于 2019-2-9 22:39
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-9 22:26:25 | 显示全部楼层
然而,$100$以下$33,42$仍然还没有找到解,就是说$x^3+y^3+z^3=33$ 跟$x^3+y^3+z^3=42$的整数解至今是个谜。。。。

同志们,有没有兴趣 攻克以下  $33$和$42$, 至少要搜出$10^15$之外,

https://mathoverflow.net/questions/138886/which-integers-can-be-expressed-as-a-sum-of-three-cubes-in-infinitely-many-ways
for $n≤1000$, the problem is still open only for $33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, and 975$ (see this paper and this paper).
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-9 22:49:35 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2019-2-9 22:04
而根据2016年四月份提交的论文https://arxiv.org/abs/1604.07746,得知 $74$的最小解 都到了$10^15$这个数量级了 ...


搭配“油管网”的视频“食用”,风味更佳~
该链接中的视频就是Arxiv上论文作者录制的。
https://www.youtube.com/watch?v=wymmCdLdPvM
这个是AoPS上的讨论
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1559745p9531044
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-11 12:46:28 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-14 21:58:49 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2019-2-9 21:46
简单计算了前面几项,好像包含了 http://oeis.org/A156638,而且比较有意思的是,好像都是以相差为1的相邻 ...

A156638:\(\D a(n)=\frac{9n-7*((n-1)\mod2)-1}{2}\)
4, 5, 13, 14, 22, 23, 31, 32, 40, 41, 49, 50, 58, 59, 67, 68, 76,
77, 85, 86, 94, 95, 103, 104, 112, 113, 121, 122, 130, 131, 139,
140, 148, 149, 157, 158, 166, 167, 175, 176, 184, 185, 193, 194,
202, 203, 211, 212, 220, 221, 229, 230, 238, 239, 247, 248, 256

A060464:\(\D a(n)=\frac{9n-2*((n+2)\mod7)-3}{7}\)
0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 25,
26, 27, 28, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 43, 44, 45, 46, 47,
48, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 69, 70, 71,
72, 73, 74, 75, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-28 20:58:51 | 显示全部楼层
还是摸索计算,没有数论上的理论
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-9 11:30:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2019-3-9 11:48 编辑
wayne 发表于 2019-2-9 22:26
然而,$100$以下$33,42$仍然还没有找到解,就是说$x^3+y^3+z^3=33$ 跟$x^3+y^3+z^3=42$的整数解至今是个谜 ...


\[(8866128975287528)^3+(-8778405442862239)^3+(-2736111468807040)^3=33\]

The Institute of Science and Technology Austria (IST Austria)
https://pub.ist.ac.at/~tbrownin/
https://www.zhihu.com/question/25950258/answer/617955040

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赞  发表于 2019-3-9 19:53

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发表于 2019-3-9 19:53:53 | 显示全部楼层
竟然这么快就有新突破
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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