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[提问] 怎样将一高斯整数写成两整数的平方和

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发表于 2019-4-13 09:03:37 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 kte 于 2019-4-13 13:09 编辑

$(a+bI)^2+(c+dI)^2=m+nI$,

已知m,n        求 a,b,c,d,并问什么情况下分解方式唯一


简单的计算


$a^2-b^2+c^2-d^2=m$    $2(ab+cd)=n$

由于虚数项都是偶数,为了计算方便,将n看作2n,$(a+bI)^2+(c+dI)^2=m+2*nI$

重写方程组,

$a^2-b^2+c^2-d^2=m$   

$ab+cd=n$

$cd=n-ab$  两边平方得

$c^2*(a^2-b^2+c^2-m)=(n-ab)^2$   

$c^2a^2-c^2b^2+c^4-mc^2-a^2b^2+2nab=n^2$

算到这里算不下去了

构造一个例子

$(6 + 5 I)^2 + (7 + 11 I)^2=-61+214I$



  1. Clear[a, b, c]; m = -61; n = 107; FindInstance[
  2. c^2 a^2 - c^2 b^2 + c^4 - m c^2 - a^2*b^2 + 2 n a b == n^2 && 0 < a &&
  3.    0 < b && 0 < c, {a, b, c}, Integers]
  4. {{a -> 6, b -> 5, c -> 7}}
复制代码




不知道mathematica是怎样得到这个答案的

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-13 11:58:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2019-4-13 11:59 编辑

前些日子论坛里面讨论过的
做这个题要用Fermat的无穷递降法
大约就是找到$a$与不等于正负a的$b$,使得$a^2=-b^2(mod p)$,计算\(a^2+b^2\over p\),把\(a^2+b^2\over p\)分解成$(c+di)*(c-di)$,这样我们的因子就变成了\(a+bi \over c+di\),很显然后面这个是Gauss整数
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