数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 184|回复: 13

[原创] 高斯整数的平方根求解

[复制链接]
发表于 2019-4-27 19:28:45 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
两个二次同余方程


$x^2=i   (mod  87+68i)$

$x^2=i   (mod  68+87i)$

如何求解

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-28 13:25:29 | 显示全部楼层
先将$87+68i$分解为$(11-4i)(5+8i)$,可知有$2×2=4$个不同的解,然后找到4个特殊解就行了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-4-28 17:15:31 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2019-4-28 13:25
先将$87+68i$分解为$(11-4i)(5+8i)$,可知有$2×2=4$个不同的解,然后找到4个特殊解就行了

那你能求出这四个数吗
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-28 17:54:06 | 显示全部楼层
kte 发表于 2019-4-28 17:15
那你能求出这四个数吗

直接穷举,可以找到4个解:$±{ 8 + 32 I, 33 - 2 I}$

点评

只要能得出四个不同的解就行,范围可以随便选  发表于 2019-4-29 18:31
kte
穷举范围是不是<0=a<=87 , 0<=b<=68  发表于 2019-4-29 07:07
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-28 18:01:28 | 显示全部楼层
令$x=a+bi$,方程可以等价地写成$ab=6097+9951(a^2-b^2)(mod 89×137)$,令$ab=0$或者$a=±b$都可以得出特解。

点评

kte
还是没明白  发表于 2019-4-29 22:24
代进去化简就可以了  发表于 2019-4-29 18:31
kte
6097,9951这两个数是怎么来的  发表于 2019-4-29 07:11
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-28 18:06:48 | 显示全部楼层
令$x=(1+i)a$,则$x^2=2i*a^2=i(mod  87+68i),2a^2=1(mod 87^2+68^2)$,解得$a=769, 5016, 7177, 11424 (mod 12193)$,代入即得特殊解。

点评

是$2a^2=1(mod 87+68i)$  发表于 2019-4-29 18:33
如果正整数可以被高斯整数整除,且高斯整数的模没有平方因子,那么这个正整数也可以被高斯整数的模整除(因为能被它的共轭数整除)  发表于 2019-4-29 18:29
话说为什么$a^2=i(mod 87+68i)$可以推出$a^2=i(mod 87^2+68^2)$啊……感觉是对的,但讲不出道理来……  发表于 2019-4-29 13:29
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2019-5-20 15:26 , Processed in 0.062374 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表