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[原创] v^2-x^2-y^2=t

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发表于 2019-6-29 21:29:43 | 显示全部楼层 |阅读模式

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在正整数域中,求不定方程$v^2-x^2-y^2=t$的解 ,其中 t 是常数。若t=3130385,试求解 。另问该不定方程是否有通解公式
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-6-30 12:49:43 | 显示全部楼层
……
这个……
你可能没有体会过平方差公式的威力
$(v+x)(v-x)=v^2-x^2=t-y^2=ab$
$v+x=a,v-x=b$
觉得分解因式麻烦可以令$b=1$,如果$t-y^2$是偶数而非4的倍数则方程无整数解,如果$t-y^2$是4的倍数,求正整数解时需保证a,b都是偶数(比如令$b=2$)

至于通解……搞不出来,实在太多……
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发表于 2019-7-2 13:04:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 kastin 于 2019-7-2 13:06 编辑
  1. Reduce[v^2 - x^2 - y^2 == 3130385 && v > 0 && x > 0 && y > 0, {v, x,
  2.   y}, Integers]
复制代码
没有简单的通项公式。也许存在,但是表达很复杂。
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发表于 2019-7-2 13:44:07 | 显示全部楼层
如果x,y是勾股数中的直角边长,那么有 `(v,x,y)={(1565193, 508408, 1480320),(1565193, 614592, 1439480),(1565193, 656640, 1420792),(1565193, 1048840, 1161792)}`
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