求所有的满足条件的三角形的三边长

bolizhou

求所有的满足条件的三角形的三边长：
(1).三角形的三边长为整数
(2).三角形的内切圆半径为2.

bolizhou

等同于：三角形边长为整数，且周长等于面积，求其边长是多少

gxqcn

先在直角三角形中寻找会比较容易，只要试探几组较小的勾股数即可。

mathe

相当于求整数a,b使得ab-4|(a^2+4)b

mathe

图片

mathe

我们知道(ab-4,b)=(b,4)
所以
i)如果假设(4,b)=1,那么b是奇数,可得ab-4|a^2+4
ii)如果(4,b)=2,设b=2u,u奇数,那么au-2|a^2+4
iii)如果(4,b)=4,设b=4u,那么au-1|a^2+4
也就是对于给定的a,我们只要因子分解a^2+4,寻找那些加上1,2,4以后为a的倍数的因子

mathe

再仔细分析一下,可以得到只要分析所有的$a<=10$以及a-4|84,a-2|32,3a-4|208等情况

mathe

我们现在要分析的题目形如求a使得$au-h|a^2+4$,其中h=1,2,4
设$(au-h)t=a^2+4$,我们得到$(ut-a)a=4+ht$其中$t<={a^2+4}/{a-4}$,
所以右边$4+ht<=4+4t<=4a+4+32/{a-4}$,于是在$a>=10$时,$4+ht<5a$,也就是$1<=ht-a<=4$
于是在$a>=10$时,$ht in {a+1,a+2,a+3,a+4}$,而t是$a^2+4$的因子,ht是$4a^2+16$的因子

mathe

然后如果a+1是$4a^2+16$的因子,
由于$4a^2+16=4*(a+1)^2-8*(a+1)+20$,得到$a+1|20$
如果a+2是$4a^2+16$的因子,得到$a+2|32$
如果a+3是$4a^2+16$的因子,得到$a+3|52$
如果a+4是$4a^2+16$的因子,得到$a+4|80$
7#算错了

gxqcn

由于三边长均为整数，由余弦定理知，每个角的余弦值必须为有理数；
又面积=周长为整数，由面积公式 $S=1/2ab\"sin"C$ 知，其每个角的正弦值也必须为有理数；
综上，基本上仅（）直角三角形能满足上述要求（其正弦值要么为1，要么为一组勾股弦数之间的比值），
由于其内切圆半径很小，容易试探出至少有两个解：(6,8,10) 及 (5,12,13)