数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 86|回复: 1

[求助] 现实中的指数关系,可以被任意底的指数函数拟合么?

[复制链接]
发表于 2020-8-1 22:54:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
本帖最后由 wufaxian 于 2020-8-1 23:38 编辑

看到一个例题,引出了一个思考。先将例题以及解法简述如下:
如果你知道三年前兔子的总数是1 000只, 而现在增长至64 000只,那么, 从现在开始, 一年之后总数会怎样变化呢?此外,总数从1 000增长至400 000需要多长时间呢?好吧, 我们有P0 = 1 000, 因为这是初始的总数.故上述的框中方程变为P(t) = 1000ekt.问题是, 我们不知道k是什么. 而我们知道的是, 当t = 3时, P =64000, 因此, 我们将其代入:
     64000=1000ekt
这意味着, e3k = 64.我们对两边取对数得到3k = ln(64), 故k=(1/3)*ln(64). 事实上, 如果你写ln(64) = ln(26) = 6ln(2),那么你可以将其化简为k = 2ln(2). 这意味着,对于任意的时刻t,P(t) = 1000e2lan(2)t现在, 我们可以求解该问题了.对于第一部分, 我们想要知道从现在开始的一年中会发生什么情况.这事实上是从初始时刻开始的4年时间,故设t = 4.我们得到
    p(4)=1000e2ln(2)*4=1000e8*ln(2)=1000eln(256)=1000*256=256000



看到上述求解过程,我就想到兔子繁殖的函数为什么一定是以e为底的指数函数呢?如果换做其他底会怎样呢?也能求出K来么? 于是我就尝试用9做底。还套用上述方法求解K
64000=1000*93k
求解k=(1/3)*log964
p(4)=1000*9k*4  将k代入。p(4)=256000  与第一种方法同解

由上面我们可以看出。即便预设的函数采用不同的底数(e或者9)最终都能得到不同的K 。通过对t进行缩放(k大于1,可以看作对t进行压缩,k越大,对变量t压缩越严重,k小于1可以看作对t进行放大,k越小对t放大越严重。压缩的含义是t只需要很小的变化就会在指数函数的曲线上出现很大的变动)
那么针对上述例题是否有任意底数a (a大于1),都i可以求出相应的k,使指数可以满足实际中兔子繁殖数量与时间(年数)的映射关系呢?如果是,为什么?
其实从上面求解过程可以看出来。如果模型换成a为底,那么最后求出的k一定是1/3*loga64. 可是为什么一个确定的映射关系(兔子数量与时间的函数关系)却可以被任意底数的指数函数表示呢?总觉得有点怪怪的。

我有一种直觉。底数a>b>c>1的指数函数如下图所示。
指数.jpg
他们的曲线“曲率”应该一致,也就是说c为底的指数函数 以(0,1)为轴心逆时针旋转可以完全与a为底的函数重合。同样b为底的指数函数 以(0,1)为轴心逆时针旋转可以完全与a为底的函数重合,只有这样才能确保兔子繁殖速度的函数模型可以是一个与底数无关的函数。因为现实当中兔子繁殖速度的函数如果以点绘线一定是一个底数唯一的指数函数图像,而不可能是任意底数的函数图像。
我的直觉对么?为什么对?为什么错?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-8-2 13:58:29 | 显示全部楼层
不一定需要用e为底, 通过换底公式,任何指数关系都可以表达为以e为底的指数形式(相差无非就是一个指前因子而已),比如 `a^x=\mathrm{e}^{(\ln a)x}\,(a>0,\,a\neq 1)`.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2020-8-11 05:12 , Processed in 0.064739 second(s), 19 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表