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[求助] 双曲函数为什么要在前面加个三角函数的标志

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发表于 2020-8-2 16:38:42 | 显示全部楼层 |阅读模式

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微积分课程中介绍了双曲函数如下图:
双曲.jpg
如果就是等号右边的函数那什么问题也没有!!! 例如将两个等式的等号左边分别换成换成f(x)和g(x)。那什么问题都没有!包括后面有关双曲函数的各种性质。也都没有问题!例如 (f(x))^2-(g(x))^2=1 也没问题! g(x)求导等于f(x)。 既然不加三角函数符号。根本就不影响双曲函数的讨论和运算。那为什么非要在左边加上sin 和 cos?
加上sin 和 cos 后面跟的h(x)的表达式有不清楚是什么。我们假设h(x)的值域是全体实数。那么sinh(x)的值于是正负1才对 但实际上sinh(x)的图像却是下图:
双曲2.jpg

所以,双曲函数等式左边为什么要加上sin 和 cos 符号?同时还不告诉h(x)的表达式,为什么?
         其次,在微积分里面加上双曲函数的章节目的是什么?感觉就是介绍了一下对双曲函数求导,1/双曲函数等于某个双曲函数这些性质。看不出和整个微积分这本书有什么关联。!

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-8-2 16:49:49 | 显示全部楼层
因为双曲函数和三角函数很多性质非常类似,或者从复函数的角度来看,它们本质上是同一个函数
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发表于 2020-8-2 16:51:10 | 显示全部楼层
$\cos(x)=\frac{e^{i x}+e^{-i x}}2 , \sin(x)=\frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2i}$

点评

是和悬链线有关吧?  发表于 2020-8-3 08:22
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 楼主| 发表于 2020-8-2 17:08:22 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2020-8-2 16:49
因为双曲函数和三角函数很多性质非常类似,或者从复函数的角度来看,它们本质上是同一个函数

谢谢回复。双曲函数会成为哪些数学的基础?或者在学哪些后续数学知识的时候会涉及到双曲函数的只是么?比如线性代数,概率,统计学。

另外关于和三角函数相似。从图像上看有点风马牛不相及。另外,h(x)的表达式为什么不给出呢?我看的是《普林斯顿微积分》
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发表于 2020-8-2 17:31:29 | 显示全部楼层
建议多读读数学史之类的科普书籍,你的很多疑问会在其中找到解答,当然,这也是为啥目前大学数学教学很枯燥的原因——因为书本只给你罗列正确的知识点,不会跟你讲其中的渊源历史甚至各种弯路。
为什么要加“三角”二字,显然是跟三角函数有联系,可以从这两个方面去理解:1. 你上面提到的f(x),g(x)具有的性质跟三角函数的许多性质很相似(比如和角公式、积化和差公式等等),其中有些公式只是相差一个负号而已,进一步由这两个函数还可以仿照定义类似的双曲正切、双曲正割,具有的性质也跟普通三角函数类似;2. 三角函数定义域扩充到复数域后,将纯虚数作为自变量,三角函数的值会和双曲函数联系起来。

至于为啥要加双曲二字,是因为最初研究双曲线几何性质中发现的。三角函数是从研究圆的几何性质而来,所以也叫圆函数(同理,椭圆函数,是通过研究椭圆周长而来,也具有类似三角函数性质的一些公式),而双曲函数则是通过研究双曲线上的点与原点的连线以及双曲线弧长与坐标轴三者围成的面积而得到的。这个面积的两倍,就是所谓的双曲角。
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发表于 2020-8-2 17:58:28 | 显示全部楼层
h(x)的表达式为什么不给出呢?

楼主可能误解了sinh符号的含义。  sinh(x) 里的 sinh 的四个字母 是连在一起的,也就是说 $sinh(x) !=sin(h(x) )$

点评

:)  发表于 2020-8-3 19:43
h算是个后缀,表示hyperbolic,双曲之意。我记得matlab中有sind函数,后缀d表示degree,度数,也就是函数的自变量是角度单位而不是弧度单位。  发表于 2020-8-3 18:57
善解人意,善之善哉,蛤蛤蛤蛤^_^^_^  发表于 2020-8-3 08:10
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 楼主| 发表于 2020-8-2 20:25:11 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2020-8-2 17:31
建议多读读数学史之类的科普书籍,你的很多疑问会在其中找到解答,当然,这也是为啥目前大学数学教学很枯燥 ...

多谢回复,学习了。
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 楼主| 发表于 2020-8-2 20:29:39 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2020-8-2 17:58
楼主可能误解了sinh定义的含义。  sinh(x) 里的 sinh 的四个字母 是连在一起的,也就是说 $sinh(x) !=sin ...

谢谢回复。明白了。
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