过两定点作圆弧，交割并平分已知圆周

hujunhua

已知：圆C和圆内两个定点A，B
求作一个弓形，底为圆O的一条直径，弧过定点A、B。

这是球极射影的一个作图问题。

hujunhua

补个图。看我作得多简单，多漂亮！呵呵，偶是先有弧，后有点。

mathe

可以用解析几何来分析
设C坐标为原点，圆的半径为R,$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。
目标圆圆心为$D(x_0,y_0)$,那么我们知道D在AB的中垂线上。
另外连接CD,我们知道$CD^2+R^2=AD^2$
于是我们得到方程$x_0^2+y_0^2+R^2=(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2$
或者说$x_1x_0+y_1y_0={x_1^2+y_1^2-R^2}/2$
也就是D在直线$x_1X+y_1Y={x_1^2+y_1^2-R^2}/2$上
这条直线同AC垂直，同AC延长线交于一点E,那么$|{CE}/{AC}|={R^2-x_1^2+y_1^2}/{2(x_1^2+y_1^2)}={R^2-AC^2}/{2AC^2}$,即$2CE={R^2-AC^2}/{AC}$
做出E点就可以很容易解决问题了

showjim

一个比较笨的方法(非公式)，先做直线交于圆周确定边界，因为两圆相交成抛物线，然后三分逼近弧底

gxqcn

我说一个作法，不知对否：

1、作AB 的中垂线，交圆C于点D；
2、以点D为圆心，AD 为半径作圆，交圆C分别为点E、F；
3、连结EF，作圆C的直径 GH∥EF；
4、过点G、A、H 作圆，则 弧GAH 即为所求。

上述作法的出发点是：过点A、B任作一圆得到一公共弦，然后平移该公共弦直至过点C，得到目标弧与已知圆的公共弦。

其中，点D不必一定选与圆C的交点。

mathe

A,B,G,H四点不共圆

gxqcn

我也发现了问题：过点AB的不同半径的圆与已知圆形成的公共弦不保证平行，
所以5#的原理不成立，作法是错误的。

mathe

附带gxqcn上面方法的图:


下面给出我的方法的图:
方法是先过A做AC垂线交圆C于FG两点，于是$|AF|^2=R^2-|AC|^2$
过F做FC垂线（或F点圆C的切线）角AC延长线于H,于是$|AH |={R^2-|AC|^2}/{|AC|^2}$
做出AH的中点M,在AC另一头延长线上取点I使得CI=AM.
过I做AC的垂线交AB的中垂线于D,D就是所求的圆心

hujunhua

Mathe硬是将解析几何的计算结果转化成作图方法了，而且还算得简明，以长克短显威力啊。
由解析几何引导的作法一般不是最简方法，不知有没有更简明些的作法。

mathe

的确如此。这个题目里面用解析几何能够起作用主要还在于找到了一条直线轨迹。