数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 1032|回复: 14

[讨论] 求解不定方程 x^2+1=u^2+v^2

[复制链接]
发表于 2011-8-20 18:51:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
在pell方程x^2-dy^2= -1 中,若d是4k+1形的素数,则d可以表为两个数的平方和,记d=P^2+Q^2
又由于y也是两数的平方和,那么y的平方也可以表为两数的平方和记y^2=R^2+S^2,则
d*y^2=(P^2+Q^2)(R^2+S^2)=(PR+QS)^2+(PS-QR)^2=(PR-QS)^2 + (PS+QR)^2
若有PS-QR=+/-1,则存在RS使得PR+QS=x ,将pell方程变形得到x^2+1=dy^2
有d*y^2=(PR-QS)^2 + (PS+QR)^2  若PR-QS=u,PS+QR=v 则得到标题中的不定方程
x^2+1=u^2+v^2  ,这个不定方程在《数论妙趣》中有恒等式解
x=ab^2+a+b ,   u=2ab+1,   v=ab^2 - a + b 若令d=113,则有P=8,Q=7,R=55,S=48,满足方程 ,代入得到 u=768,v=104,问题是现在能求出这样的a,b吗这样的方程是否有非平凡解(根据公式应该是有的)waiting for your answer!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-12 22:37:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2018-9-12 22:39 编辑

Choudhry
\(x^2+1=u^2+v^2\)
\((p^2q+p+q)^2+1=(p^2q+p-q)^2+(2pq+1)^2\)
[A Collection of Algebraic Identities]  (002: Sums of Two Squares, Part 2) https://sites.google.com/site/tpiezas/003
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 7 天前 来自手机 | 显示全部楼层
不明白你的目的,这个方程同pell不等式关联实在不大,找到x,u,v对于给定d的方程毫无作用。但是几乎对于所有的x,都可以有有限组u,v满足方程

点评

这其实是勾股方程,但是必须通过(x,1)这个点  发表于 7 天前
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 7 天前 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-9-13 15:50 编辑
葡萄糖 发表于 2018-9-12 22:37
Choudhry
\(x^2+1=u^2+v^2\)
\((p^2q+p+q)^2+1=(p^2q+p-q)^2+(2pq+1)^2\)

若\(k_1,k_2,k_3,n\ \)均是整数,满足\(k_1^2+k_2^2+k_3^2=n^2\)。
我们限制\(\vert k_1\vert >\vert k_2\vert >\vert k_3\vert>\vert n\vert\),且\((k_1,k_2,k_3,n)=1\)。
求证:\(n\ \)可以跑遍所有整数。譬如:
\(01^2-00^2-1^2=0^2\)
\(03^2-02^2-2^2=1^2\)
\(07^2-06^2-3^2=2^2\)
\(13^2-12^2-4^2=3^2\)
\(21^2-20^2-5^2=4^2\)
\(31^2-30^2-6^2=5^2\)
\(43^2-42^2-7^2=6^2\)
\(57^2-56^2-8^2=7^2\)
\(73^2-72^2-9^2=8^2\)
\(\cdots\cdots\)
\(\vert k_1\vert ,\vert k_2\vert ,\vert k_3\vert,\vert n\vert\) 表示取绝对值,
\((k_1,k_2,k_3,n)=1\)表示4个数的最大公约数是 1 。

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 7 天前 | 显示全部楼层
https://projecteuler.net/problem=223
当初为了解出这个题,我在学校机房里差不多通宵了一晚上, , 所幸是最早的一批解答者.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 7 天前 | 显示全部楼层
  1. (*求解不定方程 x^2+1=u^2+v^2*)
  2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  3. (*先产生两列数,然后求平方和-1后开方是整数的,则留下来*)
  4. (*uv中有一个等于1,那么是平凡解,这样的解不考虑*)
  5. aa=Select[Subsets[Range[2,300],{2}],IntegerQ@Sqrt[Total[#^2]-1]&];
  6. (*增加第三列数,构成解*)
  7. bb=Append[#,Sqrt[Total[#^2]-1]]&/@aa
复制代码

除了穷举法,我实在想不到什么别的办法了!
求解结果
4        7        8
6        17        18
7        11        13
8        9        12
8        31        32
9        19        21
10        15        18
10        49        50
11        13        17
11        29        31
12        71        72
13        19        23
13        41        43
14        17        22
14        31        34
14        97        98
15        26        30
15        55        57
16        23        28
16        41        44
16        127        128
17        21        27
17        34        38
17        71        73
18        161        162
19        27        33
19        43        47
19        89        91
20        25        32
20        65        68
20        199        200
21        53        57
21        109        111
22        31        38
22        79        82
22        241        242
23        29        37
23        41        47
23        64        68
23        131        133
24        55        60
24        287        288
25        35        43
25        49        55
25        76        80
25        155        157
26        33        42
26        65        70
26        111        114
27        89        93
27        181        183
28        39        48
28        129        132
29        37        47
29        67        73
29        103        107
29        209        211
31        34        46
31        43        53
31        56        64
31        77        83
31        118        122
31        239        241
32        41        52
32        169        172
33        64        72
33        134        138
33        271        273
34        47        58
34        79        86
34        113        118
34        191        194
35        45        57
35        99        105
35        151        155
36        89        96
36        127        132
37        51        63
37        111        117
37        169        173
38        49        62
38        239        242
39        71        81
39        91        99
39        188        192
40        55        68
40        265        268
41        53        67
41        64        76
41        79        89
41        101        109
41        137        143
41        208        212
43        59        73
43        71        83
43        151        157
43        229        233
44        57        72
44        103        112
44        191        196
45        251        255
46        63        78
46        113        122
46        209        214
47        61        77
47        86        98
47        134        142
47        181        187
47        274        278
48        161        168
49        50        70
49        67        83
49        94        106
49        115        125
49        146        154
49        197        203
49        298        302
50        65        82
50        175        182
51        55        75
51        125        135
52        71        88
53        69        87
53        111        123
53        231        237
54        127        138
54        289        294
55        75        93
55        101        115
55        120        132
55        185        193
55        249        255
56        73        92
56        97        112
56        137        148
57        109        123
57        199        207
58        79        98
59        77        97
59        139        151
59        169        179
59        287        293
61        83        103
61        149        161
61        181        191
62        81        102
62        209        218
62        271        278
63        116        132
63        244        252
64        87        108
64        129        144
64        151        164
64        223        232
64        289        296
65        76        100
65        85        107
65        124        140
65        170        182
65        260        268
66        161        174
67        91        113
67        181        193
68        89        112
69        71        99
69        109        129
69        163        177
69        233        243
70        95        118
71        76        104
71        93        117
71        116        136
71        131        149
71        173        187
71        204        216
71        247        257
73        99        123
73        139        157
73        216        228
74        97        122
74        175        190
76        103        128
76        127        148
76        185        200
76        257        268
77        101        127
77        241        253
78        271        282
79        89        119
79        107        133
79        118        142
79        146        166
79        187        203
79        254        266
80        105        132
81        154        174
81        197        213
82        111        138
83        109        137
83        239        253
83        281        293
84        199        216
85        115        143
85        251        265
85        295        307
86        113        142
86        209        226
86        239        254
87        161        183
88        119        148
89        92        128
89        117        147
89        153        177
89        169        191
89        188        208
89        211        229
91        97        133
91        123        153
91        197        217
91        221        239
92        121        152
92        191        212
94        127        158
94        223        242
94        287        302
95        125        157
95        176        200
95        274        290
96        233        252
97        131        163
97        154        182
97        184        208
97        286        302
98        129        162
99        161        189
99        235        255
100        135        168
101        133        167
101        155        185
101        245        265
103        139        173
103        191        217
103        209        233
104        137        172
104        247        268
105        199        225
106        143        178
106        257        278
107        141        177
109        113        157
109        147        183
109        183        213
109        259        281
109        287        307
110        145        182
111        118        162
111        134        174
111        206        234
111        269        291
111        298        318
112        151        188
113        131        173
113        149        187
113        214        242
113        254        278
114        271        294
115        155        193
116        127        172
116        153        192
116        281        304
118        159        198
119        157        197
119        221        251
119        283        307
121        163        203
121        229        259
121        293        317
122        161        202
122        209        242
124        167        208
124        295        320
125        165        207
125        199        235
125        265        293
127        144        192
127        171        213
127        206        242
127        236        268
127        274        302
128        169        212
129        134        186
129        188        228
129        244        276
130        175        218
131        139        191
131        173        217
131        271        301
133        179        223
134        177        222
134        239        274
135        251        285
136        183        228
137        181        227
137        259        293
139        187        233
139        209        251
140        185        232
142        191        238
142        239        278
142        289        322
143        189        237
143        266        302
144        161        216
145        195        243
145        274        310
146        193        242
146        287        322
148        199        248
149        155        215
149        197        247
151        160        220
151        203        253
151        265        305
151        281        319
152        201        252
153        181        237
153        244        288
153        289        327
154        207        258
154        241        286
155        205        257
155        251        295
155        265        307
157        211        263
158        209        262
159        296        336
160        215        268
161        186        246
161        213        267
161        246        294
163        219        273
164        217        272
166        223        278
167        221        277
169        176        244
169        208        268
169        227        283
170        225        282
171        181        249
172        231        288
173        229        287
175        199        265
175        235        293
175        295        343
176        233        292
178        239        298
179        237        297
181        199        269
181        243        303
181        289        341
182        241        302
183        271        327
183        296        348
184        247        308
185        245        307
186        287        342
187        251        313
188        191        268
188        249        312
189        197        273
190        255        318
191        202        278
191        253        317
191        274        334
193        259        323
194        257        322
196        263        328
197        261        327
199        239        311
199        267        333
199        300        360
200        265        332
202        271        338
203        269        337
205        275        343
206        273        342
208        279        348
209        218        302
209        233        313
209        241        319
209        277        347
211        223        307
211        283        353
212        281        352
214        287        358
215        285        357
217        291        363
218        289        362
220        295        368
221        293        367
223        254        338
223        299        373
224        297        372
229        239        331
231        244        336
239        298        382
241        286        374
246        271        366
246        287        378
249        260        360
251        265        365
257        296        392
269        281        389
271        286        394
288        289        408

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 7 天前 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. out={a,b,c}/.{ToRules@Reduce[a^2+b^2==c^2+1&&1<a<=b<=c<=250,{a,b,c},Integers]}
  3. aa=Sort[out,#1[[3]]<#2[[3]]&]
  4. bb=Grid@aa
复制代码
  1. 5        5        7
  2. 4        7        8
  3. 8        9        12
  4. 7        11        13
  5. 11        13        17
  6. 10        15        18
  7. 6        17        18
  8. 9        19        21
  9. 14        17        22
  10. 13        19        23
  11. 17        21        27
  12. 16        23        28
  13. 15        26        30
  14. 11        29        31
  15. 20        25        32
  16. 8        31        32
  17. 19        27        33
  18. 14        31        34
  19. 23        29        37
  20. 22        31        38
  21. 17        34        38
  22. 29        29        41
  23. 26        33        42
  24. 25        35        43
  25. 13        41        43
  26. 16        41        44
  27. 31        34        46
  28. 29        37        47
  29. 23        41        47
  30. 19        43        47
  31. 28        39        48
  32. 10        49        50
  33. 32        41        52
  34. 31        43        53
  35. 25        49        55
  36. 35        45        57
  37. 21        53        57
  38. 15        55        57
  39. 34        47        58
  40. 24        55        60
  41. 38        49        62
  42. 37        51        63
  43. 31        56        64
  44. 41        53        67
  45. 40        55        68
  46. 23        64        68
  47. 20        65        68
  48. 49        50        70
  49. 26        65        70
  50. 44        57        72
  51. 33        64        72
  52. 12        71        72
  53. 43        59        73
  54. 29        67        73
  55. 17        71        73
  56. 51        55        75
  57. 41        64        76
  58. 47        61        77
  59. 46        63        78
  60. 25        76        80
  61. 39        71        81
  62. 50        65        82
  63. 22        79        82
  64. 49        67        83
  65. 43        71        83
  66. 31        77        83
  67. 34        79        86
  68. 53        69        87
  69. 52        71        88
  70. 41        79        89
  71. 19        89        91
  72. 56        73        92
  73. 55        75        93
  74. 27        89        93
  75. 36        89        96
  76. 59        77        97
  77. 58        79        98
  78. 47        86        98
  79. 14        97        98
  80. 69        71        99
  81. 39        91        99
  82. 65        76        100
  83. 62        81        102
  84. 61        83        103
  85. 71        76        104
  86. 35        99        105
  87. 49        94        106
  88. 65        85        107
  89. 29        103        107
  90. 64        87        108
  91. 41        101        109
  92. 21        109        111
  93. 68        89        112
  94. 56        97        112
  95. 44        103        112
  96. 67        91        113
  97. 26        111        114
  98. 55        101        115
  99. 71        93        117
  100. 37        111        117
  101. 70        95        118
  102. 34        113        118
  103. 79        89        119
  104. 74        97        122
  105. 46        113        122
  106. 31        118        122
  107. 73        99        123
  108. 57        109        123
  109. 53        111        123
  110. 49        115        125
  111. 77        101        127
  112. 89        92        128
  113. 76        103        128
  114. 16        127        128
  115. 69        109        129
  116. 80        105        132
  117. 63        116        132
  118. 55        120        132
  119. 36        127        132
  120. 28        129        132
  121. 91        97        133
  122. 79        107        133
  123. 23        131        133
  124. 51        125        135
  125. 71        116        136
  126. 83        109        137
  127. 82        111        138
  128. 54        127        138
  129. 33        134        138
  130. 65        124        140
  131. 86        113        142
  132. 79        118        142
  133. 47        134        142
  134. 85        115        143
  135. 41        137        143
  136. 64        129        144
  137. 89        117        147
  138. 88        119        148
  139. 76        127        148
  140. 56        137        148
  141. 71        131        149
  142. 59        139        151
  143. 92        121        152
  144. 91        123        153
  145. 49        146        154
  146. 35        151        155
  147. 109        113        157
  148. 95        125        157
  149. 73        139        157
  150. 43        151        157
  151. 25        155        157
  152. 94        127        158
  153. 61        149        161
  154. 111        118        162
  155. 98        129        162
  156. 18        161        162
  157. 97        131        163
  158. 64        151        164
  159. 79        146        166
  160. 101        133        167
  161. 100        135        168
  162. 48        161        168
  163. 116        127        172
  164. 104        137        172
  165. 32        169        172
  166. 113        131        173
  167. 103        139        173
  168. 37        169        173
  169. 111        134        174
  170. 81        154        174
  171. 66        161        174
  172. 107        141        177
  173. 89        153        177
  174. 69        163        177
  175. 106        143        178
  176. 59        169        179
  177. 110        145        182
  178. 97        154        182
  179. 65        170        182
  180. 50        175        182
  181. 109        147        183
  182. 87        161        183
  183. 27        181        183
  184. 101        155        185
  185. 129        134        186
  186. 113        149        187
  187. 71        173        187
  188. 47        181        187
  189. 112        151        188
  190. 99        161        189
  191. 74        175        190
  192. 131        139        191
  193. 89        169        191
  194. 61        181        191
  195. 127        144        192
  196. 116        153        192
  197. 39        188        192
  198. 115        155        193
  199. 67        181        193
  200. 55        185        193
  201. 34        191        194
  202. 44        191        196
  203. 119        157        197
  204. 118        159        198
  205. 95        176        200
  206. 76        185        200
  207. 20        199        200
  208. 122        161        202
  209. 121        163        203
  210. 79        187        203
  211. 49        197        203
  212. 125        165        207
  213. 57        199        207
  214. 124        167        208
  215. 97        184        208
  216. 89        188        208
  217. 29        209        211
  218. 128        169        212
  219. 92        191        212
  220. 41        208        212
  221. 127        171        213
  222. 109        183        213
  223. 81        197        213
  224. 46        209        214
  225. 149        155        215
  226. 144        161        216
  227. 84        199        216
  228. 71        204        216
  229. 131        173        217
  230. 103        191        217
  231. 91        197        217
  232. 130        175        218
  233. 62        209        218
  234. 151        160        220
  235. 134        177        222
  236. 133        179        223
  237. 105        199        225
  238. 86        209        226
  239. 137        181        227
  240. 136        183        228
  241. 129        188        228
  242. 73        216        228
  243. 89        211        229
  244. 140        185        232
  245. 64        223        232
  246. 139        187        233
  247. 103        209        233
  248. 43        229        233
  249. 111        206        234
  250. 125        199        235
  251. 153        181        237
  252. 143        189        237
  253. 53        231        237
  254. 142        191        238
  255. 169        169        239
  256. 91        221        239
  257. 31        239        241
  258. 146        193        242
  259. 127        206        242
  260. 122        209        242
  261. 113        214        242
  262. 94        223        242
  263. 38        239        242
  264. 22        241        242
  265. 145        195        243
  266. 69        233        243
  267. 169        176        244
  268. 161        186        246
  269. 149        197        247
  270. 148        199        248
  271. 171        181        249

复制代码
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 7 天前 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-9-13 12:31
若\(k_1,k_2,k_3,n\ \)均是整数,满足\(k_1^2+k_2^2+k_3^2=n^2\)。
我们限制\(\vert k_1\vert >\vert k_ ...

若\(k_1,k_2,k_3,n\ \)均是整数,满足\(k_1^3+k_2^3+k_3^3=n^3\)。
我们限制\(\vert k_1\vert >\vert k_2\vert >\vert k_3\vert>\vert n\vert\),且\((k_1,k_2,k_3,n)=1\)。
求证:\(n\ \)可以跑遍除\("0"\ \)外的所有整数。譬如:
\((−12)^3+10^3+9^3=1^3\)
\((−16)^3+15^3+9^3=2^3\)
\((+19)^3−18^3−10^3=3^3\)
\((+25)^3−22^3−17^3=4^3\)
\((−76)^3+69^3+48^3=5^3\)
\((+41)^3−33^3−32^3=6^3\)
\((+20)^3−17^3−14^3=7^3\)
\((−53)^3+50^3+29^3=8^3\)
\((−34)^3+33^3+16^3=9^3\)
\((−27)^3+24^3+19^3=10^3\)
\((+29)^3−27^3−15^3=11^3\)
\((−40)^3+33^3+31^3=12^3\)
\((108)^3−104^3−51^3=13^3\)
\((+71)^3−70^3−23^3=14^3\)
\((−58)^3+49^3+42^3=15^3\)
\((+44)^3−41^3−23^3=16^3\)
\((−39)^3+36^3+26^3=17^3\)
\((+28)^3−21^3−19^3=18^3\)
\((+82)^3−69^3−60^3=19^3\)
\((−87)^3+79^3+54^3=20^3\)
\((+88)^3−84^3−43^3=21^3\)
\((+67)^3−54^3−51^3=22^3\)
\((−94)^3+84^3+63^3=23^3\)
\((−98)^3+89^3+63^3=24^3\)
\((+81)^3−74^3−48^3=25^3\)
\((+87)^3−78^3−55^3=26^3\)
\((−46)^3+37^3+30^3=27^3\)
\((+84)^3−75^3−53^3=28^3\)
\((+53)^3−44^3−34^3=29^3\)
\((−67)^3+58^3+51^3=30^3\)
\((+76)^3−72^3−33^3=31^3\)
\((−93)^3+85^3+54^3=32^3\)
\((105)^3−92^3−70^3=33^3\)
\((+72)^3−65^3−39^3=34^3\)
\((−98)^3+92^3+59^3=35^3\)
\((+69)^3−61^3−38^3=36^3\)
\((174)^3−141^3−136^3=37^3\)
\((-75)^3+66^3+43^3=38^3\)
\((191)^3−156^3−146^3=39^3\)
\((179)^3−166^3−107^3=40^3\)
\((319)^3-318^3-72^3=41^3\)
\((-69)^3+61^3+56^3=42^3\)
\(\cdots\cdots\)
\(\vert k_1\vert ,\vert k_2\vert ,\vert k_3\vert,\vert n\vert\) 表示取绝对值,
\((k_1,k_2,k_3,n)=1\)表示4个数的最大公约数是 1 。
当\(k_1,k_2,k_3\) 一起改变正负号时,\(n\ \) 就变成了负数,即是说 :\(n\ \) 可以跑遍除\(\ "0"\ \)外的所有整数。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 7 天前 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-9-13 16:42
若\(k_1,k_2,k_3,n\ \)均是整数,满足\(k_1^3+k_2^3+k_3^3=n^3\)。
我们限制\(\vert k_1\vert >\vert k_ ...

若\(k_1,k_2,k_3,n\ \)均是整数,满足\(k_1^4-k_2^4-k_3^4=n^4\)。
我们限制\(\vert k_1\vert >\vert k_2\vert >\vert k_3\vert>\vert n\vert\),且\((k_1,k_2,k_3,n)=1\)。
问:\(n\ \)还可以跑遍除\("0"\ \)外的所有整数吗?

\(\vert k_1\vert ,\vert k_2\vert ,\vert k_3\vert,\vert n\vert\) 表示取绝对值,
\((k_1,k_2,k_3,n)=1\)表示4个数的最大公约数是 1 。



补充内容 (2018-9-14 15:38):
在4个数中,我们只取最小的一个作比较,譬如:158^4-134^4-133^4=-59^4 , 239^4-227^4-157^4=-7^4
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 7 天前 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-9-13 17:08
若\(k_1,k_2,k_3,n\ \)均是整数,满足\(k_1^4-k_2^4-k_3^4=n^4\)。
我们限制\(\vert k_1\vert >\vert k_ ...

9楼的答案应该是否定的,但下面的答案应该是可以有的。
若\(\ k_1,k_2,k_3,k_4,n\ \)均是整数,满足\(\ k_1^4-k_2^4-k_3^4+k_4^4=n^4\)。
我们限制\(\ \vert k_1\vert >\vert k_2\vert >\vert k_3\vert>\vert k_4\vert>\vert n\vert\),且\(\ (k_1,k_2,k_3,k_4,n)=1\)。
求证:\(n\ \)可以跑遍除\("0"\ \)外的所有整数。

\(\vert k_1\vert ,\vert k_2\vert ,\vert k_3\vert,\vert k_4\vert,\vert n\vert\) 表示取绝对值,
\((k_1,k_2,k_3,k_4,n)=1\ \)表示5个数的最大公约数是 1 。

补充内容 (2018-9-14 15:45):
在5个数中,我们只取最小的一个作比较,譬如:43^4-42^4-25^4+17^4=1^4 ,28^4-26^4-20^4+7^4=3^4
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2018-9-20 00:16 , Processed in 0.170204 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表