数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 6799|回复: 46

[提问] 1^4+2^4+3^4+…+n^4=?

[复制链接]
发表于 2012-9-27 13:06:16 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
用最简便的方法推导出 \(1^4+2^4+3^4+\dots+n^4\) 的和,注意在不知道等式的右边的情况下推导出来。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-9-27 14:07:20 | 显示全部楼层
很简单,待定系数法!
和肯定是五次多项式,就有六个未知数,
然后分别计算出
1^4
1^4+2^4
1^4+2^4+3^4
1^4+2^4+3^4+4^4
1^4+2^4+3^4+4^4+5^4
1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+6^4
的值,然后求解方程组!
得到结果!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-9-27 14:07:54 | 显示全部楼层
1/30* n (1 + n) (1 + 2 n) (-1 + 3 n + 3 n^2)

这个是最后的结果,你满意吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-9-27 14:09:29 | 显示全部楼层
不过我相信有高维的图解的办法,只是我弄不出来!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-9-27 15:04:50 | 显示全部楼层
暴力解法
5n^4=n^5-(n-1)^5+10n^3-10n^2+5n-1
然后直接求和

评分

参与人数 1金币 +20 收起 理由
gxqcn + 20 首帖奖励,欢迎常来。

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2012-9-27 15:24:03 | 显示全部楼层
3# matlab


当然是不满意。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-9-27 17:33:39 | 显示全部楼层
function R=IntSum(k)
%% 待定矩阵
T_base =repmat((1:k+2)',1,k+2);
T_power=repmat((k+1:-1:0),k+2,1);
T=T_base.^T_power;
%% 结果向量
Sk=@(x) sum(arrayfun(@(i) i^k,1:x));
S=arrayfun(@(j) Sk(j),1:k+2)';
%% 系数向量
R=T\S;


然后:
>> rats(IntSum(4))

ans =

      1/5     
      1/2     
      1/3     
       0      
     -1/30   
       0

也就是:1/5*n^5+1/2*n^4+1/3*n^3-1/30*n
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-9-27 20:03:16 | 显示全部楼层
何不把问题一般化:
1+2^k+3^k+...+n^k = ?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-9-27 21:15:05 | 显示全部楼层
n次幂之和一般是n+1次幂
1+2...=(1+n)*n/2
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-9-28 00:41:06 | 显示全部楼层
gdfgfh.png

点评

为什么四次幂不超过5次,只需取前5项差分即可?  发表于 2020-2-12 01:23
请问如何证明  发表于 2020-2-12 00:56

评分

参与人数 1威望 +2 金币 +2 贡献 +2 经验 +2 鲜花 +2 收起 理由
matlab + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 绝对是人才!这个办法好!不过你怎么知道的?? ...

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2020-4-8 09:29 , Processed in 0.057521 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表