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[求助] 怎证如下pell方程无正整数解

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发表于 2017-7-7 18:59:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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$x^2-37y^2=11$

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-7-8 21:56:23 | 显示全部楼层
这种一般的Pell方程目前还没有一般的判断有无整数解的方法,估计需要用到模分析证明吧。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-7-9 07:50:32 来自手机 | 显示全部楼层
这一类Pell方程求解是有一般的判别法的,只要穷举一定范围内的x,y就可以了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-7-9 10:39:32 | 显示全部楼层
我们有$6^2-37 xx 1^2=-1$
所以如果存在非负整数对$(a,b)$使得$a^2-37b^2= +-11$,那么我们计算
$(a-\sqrt(37)b)(6+\sqrt(37))=6a-37b+\sqrt(37)(a-6b)$
那么必然也有
$(6a-37b)^2-37(a-6b)^2= +-11$
由于
$a-sqrt(37)b= \frac{+-11}{a+sqrt(37)b}$
于是$|sqrt(37)a-37b|=\frac{11\sqrt(37)}{a+sqrt(37)b}$
$|6a-37b|<=\frac{11\sqrt(37)}{a+sqrt(37)b}+(\sqrt(37)-6)a<\frac{11\sqrt(37)}{a}+(\sqrt(37)-6)a$
于是我们可以计算得知,只要满足条件的解中$|a|>=9$,必然有$|6a-37b|<a$
所以我们只要搜索所有满足$|a|<9$的解,而如果在这个范围无解,必然整个方程无解。因为任意这个范围以外的解可以递降
然后分别将$a=0,1,...,8$代入不定方程$a^2-37b^2=+-11$
可以得到其中$a^2+-11$都不是37的倍数,所以没有满足条件的解

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已更新  发表于 2017-7-11 09:25
没看懂,输入没有错误吗?  发表于 2017-7-10 11:55
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-7-11 07:53:48 | 显示全部楼层
其实这个问题已有人在stackexchange问了,不过没看懂。

https://math.stackexchange.com/questions/381218/solve-x2-py2-q

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-7-11 09:52:26 | 显示全部楼层
设 \(N>0\),\(u_0+v_0\sqrt D\) 是方程 \(u^2-Dv^2=N\) 的某结合类的基本解,\(x_0+y_0\sqrt D\) 是 \(x^2-Dy^2=1\) 的基本解,则
\[
0\leqslant v_0\leqslant \frac{y_0\sqrt N}{\sqrt{2\left(x_0+1\right)}},0\leqslant\left|u_0\right|\leqslant\sqrt{\frac{1}{2}\left(x_0+1\right)N}。
\]
若上述条件中的 \((u,v)\) 都没有满足方程 \(u^2-Dv^2=N\) 的解,则方程 \(u^2-Dv^2=N\) 无整数解。

结论来自《谈谈不定方程》

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在微盘下载到了,第30页  发表于 2017-7-12 10:31

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-7-11 10:28:48 | 显示全部楼层
设 \(N>0\),\(u_0+v_0\sqrt D\) 是方程 \(u^2-Dv^2=-N\) 的某结合类的基本解,\(x_0+y_0\sqrt D\) 是 \(x^2-Dy^2=1\) 的基本解,则
\[
0\leqslant v_0\leqslant \frac{y_0\sqrt N}{\sqrt{2\left(x_0-1\right)}},0\leqslant\left|u_0\right|\leqslant\sqrt{\frac{1}{2}\left(x_0-1\right)N}。
\]
若上述条件中的 \((u,v)\) 都没有满足方程 \(u^2-Dv^2=-N\) 的解,则方程 \(u^2-Dv^2=-N\) 无整数解。

结论同样来自《谈谈不定方程》
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2017-7-11 11:53:33 | 显示全部楼层
之前搜到 “不定方程 `x^2±Dy^2=C` 的正整数解研究” 一文中,作者说"这类一般情形是现代数学家正在探讨研究的内容",仿佛还没有成熟的结论。

方程 `x^2-1141y^2=1`的基本解 `x_0+y_0\sqrt{1141}`中,$$x_0=1036782394157223963237125215,~y_0=30693385322765657197397208$$如果按照6楼公式,想知道 `u^2-1141v^2=1141` 是否有整数解,需要检验 `0\leqslant v_0 \leqslant 2.27682\times 10^{13}` 内的整数是否满足 `u_0=\sqrt{1141v_0^2+1}\leqslant 7.6908\times 10^{14}`
不知用Mathematica需要多长时间,直接用Select函数的话内存估计不够用,需要分块循环?

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对于$x_0,y_0$很大的情况,现在的确没有太好的方法  发表于 2017-7-12 10:59
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-7-11 16:09:11 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2017-7-11 11:53
之前搜到 “不定方程 `x^2±Dy^2=C` 的正整数解研究” 一文中,作者说"这类一般情形是现代数学家正在探讨研 ...


那个帖子的代码不是傻傻的穷举. 而是 采用了连分数展开法. 所以依然很快就能找到答案:
比如,你这个,就只花了 0.004s,将$\sqrt{1141}$展开到第$58$项近似分数即出现最小解了

In[6]:= Timing[Select[Convergents[Sqrt[1141],100],Numerator[#]^2-1141Denominator[#]^2==1&]]
Out[6]= {0.004,{1036782394157223963237125215/30693385322765657197397208}}

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直接Reduce,很快:{{639,19},{103329,3059},{11045193,326987},{1782156738,52759792},{816624135273,24175718443},{131763401968578,3900784668848},{14084643063359874,416968284872096},{2272576091473242609...  发表于 2017-7-12 15:30
比如你可以试验求解$x^2-1141y^2=-3580$  发表于 2017-7-12 11:11
`x^2-37y^2=11` 这个方程用Reduce函数同样也瞬间返回False,不知道它内部是怎么判断的。  发表于 2017-7-12 11:10
在$|C|<\sqrt(|D|)$情况下总是可以采用连分数方法求解。但是对于更大的C,这种方法就不适合了,现在只能采用上面穷举的方法(我们可以再做一些优化,但是复杂度上本质变化不大)  发表于 2017-7-12 10:59
你这个举的例子事实上 mathematica是瞬间返回false,无解的。  发表于 2017-7-11 19:39
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2017-7-12 15:48:29 | 显示全部楼层
关于$ x^2-1141y^2=-3580$
$ {x,y}$ 均满足方程:$ T_n = 1275183065 T_{n-4} - T_{n-8}$,即$ x_n = 1275183065 x_{n-4} - x_{n-8},  y_n =1275183065 y_{n-4} - y_{n-8}$

{x,y}的前八组初始值为
${639,19},{103329,3059},{11045193,326987},{1782156738,52759792},{816624135273,24175718443},{131763401968578,3900784668848},{14084643063359874,416968284872096},{2272576091473242609,67278393271322461}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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