在实战中掌握方法。这些数字串会有规律吗？
1,允许中途经过O。
正4边形,共有05个点,08条路,......
正4边形,共有09个点,16条路,......
正4边形,共有13个点,24条路,......
正4边形,共有17个点,32条路,......
正4边形,共有21个点,40条路,......
............
2, 不允许中途经过O。
正4边形,共有05个点,08条路,......
正4边形,共有09个点,16条路,......
正4边形,共有13个点,24条路,......
正4边形,共有17个点,32条路,......
正4边形,共有21个点,40条路,......
............
王守恩 发表于 2023-12-30 17:16
先把目前的成果晒一晒。渴望有网友找出反例来。
1,允许中途经过O。
正3边形,共有07个点,12条路,......
状态转移方程很好列出来啊。
恭喜2024年！
正2024边形,共有4049个点,8096条路,......
从O出发又回到O,走了2条路, 有2024种走法。
从O出发又回到O,走了3条路, 有4048种走法。
从O出发又回到O,走了4条路, 有4106696种走法。
......
从O出发又回到O,走了9条路, 有几种走法？
王守恩 发表于 2023-12-31 07:06
恭喜2024年！
正2024边形,共有4049个点,8096条路,......
从O出发又回到O,走了2条路, 有2024种走法。
你的行为让我想起了罗素的名言……
aimisiyou 发表于 2023-12-30 15:41
掌握了方法就没必要一个接一个刷题了。
4, 8, 36, 120, 456, 1680, 6336, 23904, 90720, 345024, 1315008, 5018112, 19166976, 73253376, 280081152,
1071180288, 4097558016, 15676333056, 59979460608, 229502232576, 878191331328, 3360497061888,
12859561119744, 49210115162112, 188315655487488, 720644473257984, 2757766258114560, ......
这串数可有通项公式？
王守恩 发表于 2023-12-31 16:27
4, 8, 36, 120, 456, 1680, 6336, 23904, 90720, 345024, 1315008, 5018112, 19166976, 73253376, 2800811 ...
重要的是方法，而不是结果。此类求通项公式的题目你可以提成千上万个，意义不大。
王守恩 发表于 2023-12-31 16:27
4, 8, 36, 120, 456, 1680, 6336, 23904, 90720, 345024, 1315008, 5018112, 19166976, 73253376, 2800811 ...
a:=1/(66*2^n) ((11 Sqrt-3 Sqrt]) (3+Sqrt-Sqrt])^n-(11 Sqrt-3 Sqrt])(3-Sqrt+Sqrt])^n+(11 Sqrt+3 Sqrt]) (3+Sqrt+Sqrt])^n -(11 Sqrt+3 Sqrt])(3-Sqrt-Sqrt]) ^n);Table,{n,50}]//FullSimplify
{4,8,36,120,456,1680,6336,23904,90720,345024,1315008,5018112,19166976,73253376,280081152,1071180288,4097558016,15676333056,59979460608,229502232576,878191331328,3360497061888,12859561119744,49210115162112,188315655487488,720644473257984,2757766258114560,10553464225234944,40386241989476352,154551205167169536,591441403460714496,2263347856590372864,8661459160645632000,33145985444809015296,126844280267424399360,485412433287029194752,1857594602707668172800,7108713478652449259520,27203895419433428975616,104104905611638210560000,398392634641891316465664,1524584190892146878840832,5834337215195075995238400,22327065397454537427517440,85442070418553701845172224,326972993834959837109157888,1251272802311323274396565504,4788418790604990650712588288,18324504848765130634728308736,70124918647244478656645431296}
$a_n=\frac{\left(11 \sqrt{3}-3 \sqrt{99-44 \sqrt{3}}\right)
\left(3+\sqrt{3}-\sqrt{12-2 \sqrt{3}}\right)^n+\left(11 \sqrt{3}+3 \sqrt{99-44
\sqrt{3}}\right) \left(3+\sqrt{3}+\sqrt{12-2 \sqrt{3}}\right)^n-\left(11 \sqrt{3}-3
\sqrt{99+44 \sqrt{3}}\right) \left(3-\sqrt{3}+\sqrt{12+2 \sqrt{3}}\right)^n-\left(11
\sqrt{3}+3 \sqrt{99+44 \sqrt{3}}\right) \left(3-\sqrt{3}-\sqrt{12+2
\sqrt{3}}\right)^n}{66* 2^{n}}$
楼上的通项公式太恐怖了, 看来要搞个类似彩珠手串配色计数的类似"通吃"公式是不可能的。
m种颜色, n颗珠穿成的环, 有S(m,n)种穿法。详见《[讨论] 彩珠手串的配色计数》。
\(\D S(m,n)=\sum_{k = 1}^{n}\frac{m^{GCD(n, k)}}{2n}+\frac{m^{\lceil n/2\rceil} + m^{\lceil(n + 1)/2\rceil}}{4}\)
northwolves 发表于 2024-1-1 00:27
$a_n=\frac{\left(11 \sqrt{3}-3 \sqrt{99-44 \sqrt{3}}\right)
\left(3+\sqrt{3}-\sqrt{12-2 \sqrt{3}} ...
\(\D a(n)=\bigg[\frac{(\sqrt{33}+3\sqrt{9-4\sqrt{3}\ \ })(3+\sqrt{3}+\sqrt{12-2\sqrt{3}\ \ })^n-(\sqrt{33}-3\sqrt{9+4\sqrt{3}\ \ })(3-\sqrt{3}+\sqrt{12+2\sqrt{3}\ \ })^n-(\sqrt{33}+3\sqrt{9+4\sqrt{3}\ \ }) (3-\sqrt{3}-\sqrt{12+2\sqrt{3}\ \ })^n\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{6\sqrt{11}*2^n}\bigg]\)
Round[((Sqrt+3Sqrt])(3+Sqrt+Sqrt])^n-(Sqrt-3Sqrt])(3-Sqrt+Sqrt])^n-(Sqrt+3Sqrt])(3-Sqrt-Sqrt])^n)/(6Sqrt*2^n)]