northwolves 发表于 2024-1-1 00:27
$a_n=\frac{\left(11 \sqrt{3}-3 \sqrt{99-44 \sqrt{3}}\right)
\left(3+\sqrt{3}-\sqrt{12-2 \sqrt{3}} ...
根据递推式计算出来的吗？
楼上的通项公式太恐怖了, 要搞"通吃"公式只能调整题目。
正m边形, 走了n条路, 有S(m,n)种走法。譬如：
正4边形,从O出发又回到O(允许中途经过O),环形路不限制。
走了2条路, 有4种走法。
走了3条路, 有8种走法。
走了4条路, 有36种走法。
走了5条路, 有120种走法。
走了6条路, 有456种走法。
走了7条路, 有1680种走法。
走了8条路, 有6336种走法。
走了9条路, 有23904种走法。
......
正4边形, 走了n条路, 有a(4,n)种走法。
再譬如：恭喜2024年！
正2024边形,题目就不一样了。
从O出发又回到O,走了2条路, 有2024种走法。
从O出发又回到O,走了3条路, 有4048种走法。
从O出发又回到O,走了4条路, 有4106696种走法。
......
从O出发又回到O,走了9条路, 有几种走法？
正4边形,从O出发又回到O(允许中途经过O),环形路不限制。
走了2条路, 有4种走法。
走了3条路, 有8种走法。
走了4条路, 有36种走法。
走了5条路, 有120种走法。
走了6条路, 有456种走法。
走了7条路, 有1680种走法。
走了8条路, 有6340种走法。
....
这串数(与7#,19#不同), 可以有吗？谢谢！
m种颜色, n颗珠穿成的环, 有S(m,n)种穿法。详见《[讨论] 彩珠手串的配色计数》。
要搞个类似彩珠手串配色计数的类似"通吃"公式。
m边形, n条路, 有S(m,n)种走法。
环形路不限制,也就是取S(m,n)的最大值。
S(m,n)的最大值是肯定有的，可惜还没有找到"方法"。
7#3串数是同一模式:0,1,4,17,64,...1,2,9,30,113,...4,8,36,120,452,...
19#4串数是同一模式:0,0,1,6,30,...0,1,4,18,72,...1,2,9,30,114,...4,8,36,120,456,...
闹着玩的。祝大家新年快乐！生活是不可能压垮我们的。
闹着玩的。祝大家新年快乐！生活是不可能压垮我们的。
正4边形,从O出发又回到O(允许中途经过O),环形路不限制。
走了2条路, 有4种走法。
走了3条路, 有8种走法。
走了4条路, 有36种走法。
走了5条路, 有120种走法。
走了6条路, 有456种走法。
走了7条路, 有1680种走法。
走了8条路, 有6340种走法。
....
得到这样一串数:4,8,36,120,456,1680,6340,23960,91224,348656,1337896,5149872,19877904,76907808,298176516,1158168792,4505865144,17555689008,68490100536,267518448912,...
谢谢 aimisiyou！这些数据是根据7#,19#推出来的。谢谢 aimisiyou！
每环取2个数。
LinearRecurrence[{4, 1, -8}, {4, 8, 36}, 26]
LinearRecurrence[{6, -6, -12, 12}, {4, 8, 36, 120}, 26]
LinearRecurrence[{8, -17, -4, 35, -16}, {4, 8, 36, 120, 456}, 26]
LinearRecurrence[{18, -132, 496, -945, 546, 1144, -2376, 1683, -470, 36}, {4, 8, 36, 120, 456, 1680, 6340, 23960, 91224, 348656}, 26]
一串数:4,8,36,120,456,1680,6340,23960,91224,348656,1337896,5149872,19877904,76907808,298176516,1158168792,4505865144,17555689008,68490100536,267518448912,...
换串数:1,2,9,30,114,420,1585,5990,22806,87164,334474,1287468,4969476,19226952,74544129,289542198,1126466286,4388922252,17122525134,66879612228,261510344316, ......
换种说法。每环完成5个数: 2个数是任务，3个数作铺垫。
第1环: 1,2,8,24,80,
第2环: 9(8+1),30(24+6),113(80+33),410,1513,
第3环: 114(113+1),420(410+10),1584(1513+71),5976,22680,
第4环: 1585(1584+1),5990(5976+14),22805(22680+125),87146,334278,
第5环: 22806(22805+1),87164(87146+18),334473(334278+195),1287446,4969194,
第6环: 334474(334473+1),1287468(1287446+22),4969475(4969194+281),19226926,74543745,
第7环: 4969476(4969475+1),19226952(19226926+26),74544128(74543745+383),289542168,1126465784,
第8环: 74544129(74544128+1),289542198(289542168+30),1126466285(1126465784+501),4388922218,17122524498,,
第9环: 1126466286(1126466285+1),4388922252(4388922218+34),17122525133(17122524498+635),66879612190,261510343530,
......
目标很明确: 把"通吃"公式揪出来。
正m边形, 走了n条路, 有S(m,n)种走法。
S(3,n)=1, 2, 8, 26, 93, 330, 1194, 4352, 15998, 59180, 220138, 822718, 3087325, 11626986, 43926498, 166422096, 632113134, 2406419484, 9180135960, 35087235348, 134339184354, 515168830308, 1978503013692,
S(4,n)= 1, 2, 9, 30, 114, 420, 1585, 5990, 22806, 87164, 334474, 1287468, 4969476, 19226952, 74544129, 289542198, 1126466286, 4388922252, 17122525134, 66879612228, 261510344316, 1023557995512, 4009856619834,
S(5,n)= 1, 2, 10, 34, 137, 522, 2054, 8040, 31722, 125356, 496956, 1973862, 7854905, 31305290, 124932670, 499150320, 1996293790, 7991014300, 32012556140, 128334199620, 514797408170, 2066211627140, 8297247965500,
S(6,n)= 1, 2, 11, 38, 162, 636, 2607, 10550, 43118, 176084, 721294, 2957308, 12142276, 49899192, 205243479, 844786998, 3479312886, 14337289572, 59107095114, 243772689108, 1005732285276, 4150624333512, 17134158931686,
基本思路
1环可以确定S(m,2),S(m,3);
2环可以确定S(m,4),S(m,5);
3环可以确定S(m,6),S(m,7);
4环可以确定S(m,8),S(m,9);
......
数据是我一个一个一个"逼"出来的。希望有网友找出毛病来。谢谢！
虽然有这些数据, 但"通吃"公式还是没有。希望得到网友的神助。谢谢！
S(4,n)= 1, 2, 9, 30, 114, 420, 1585, 5990, 22806, 87164, 334474, 1287468, 4969476, 19226952, 74544129, 289542198, 1126466286, 4388922252, 17122525134, 66879612228, 261510344316, 1023557995512, 4009856619834
--------------------------------------------------------
$f(n)=\frac{2^{n-1} (2 n+3)\text{!!} \, _2F_1\left(1,n+\frac{5}{2};n+3;-3\right)}{(n+2)!}-\frac{2^{2 n+1} (-1)^n}{3^{n+2}}$
g:= (2^(n-1) (3+2 n)!!Hypergeometric2F1)/(n+2)!-(2^(2n+1) (-1)^n)/3^(n+2);Table[ g,{n,15}]
{1, 2, 9, 30, 114, 420, 1585, 5990, 22806, 87164, 334474, 1287468, 4969476, 19226952, 74544129}
RecurrenceTable[{(3 n + 9) b == (8 n + 18) b + (16 n + 40) b, b == 1, b == 2}, b, {n, 20}]
{1,2,9,30,114,420,1585,5990,22806,87164,334474,1287468,4969476,19226952,74544129,289542198,1126466286,4388922252,17122525134,66879612228}
aimisiyou 发表于 2023-12-25 13:47
编程序计算下。
"通吃"公式不好揪。先放松放松。
正六边形每边3等分,每对(计3对)平行边作5条(计15条)平行线(在正六边形内),
共得到37个点84条路段。从中心点O出发,又回到O(允许中途经过O),
走了n(2,3,4,5,6,7,...)条路段,有几种走法？