关于多项式方程的一个根轨迹问题

wayne

我们讨论一下实系数一元四次方程的根随参数变化而变化的问题：
方程：
$f(X)=(n^2-2*n+1)*X^4+(2-2*n)*S*X^3+(S^2-n^2+4*n-4)*X^2+(2*n-4)*S*X-S^2-1=0$

wayne

由图可知，根轨迹图有两个渐近方向 .
仔细分析一下，还是很容易求出渐近线的，有3个：
X=S/(n-1)
X=1
X=-1

wayne

解决了渐近线问题，让我们来看看实根的锐变情况：

图形给的是n=3的情况。
可以看出，在S大致等于6的地方，四个实根蜕变为两个实根，
通过代数计算得知，这个点是
S= 5.9882545628582426682347471877987785296590048943

当S=5.9882545628582426682347471877987785296590048943时，方程的四个根为
{-0.8942978495636653478796213, 3.401729513865848324645751,
1.740411449278029845734309 - 1.*10^-24 I,
1.740411449278029845734309 + 1.*10^-24 I}
当S=5.9882545628582426682347471877987785296590048944时，方程的四个根为

{-0.8942978495636653478796213, 1.740411449278029845734303, 1.740411449278029845734315, 3.401729513865848324645751}

以前通过数值计算，得到的S=6.0043029605431965656237025541486不对，应该是精度不够导致。

另外，应该可以根据 Sturm's theorem 从理论上分析算出这个点来的，不过我具体还没算，有时间再贴出来

mathe

5.9882545628582426682347471877987785296590048943就对了，对应于hujunhua那个图中n=3时切线对应的s值为S/3=1.996084854286080889411582396

wayne

4# mathe
把上面的值输入wolframalpha，却得不到准确值，。。。

根据Sturm's theorem ，算出来，n=3时，s值为：
方程$-289-421 S^2-234 S^4-29 S^6+S^8=0$的根：
5.9882545628582426682347471877987785296590048943044

wayne

一般情况：根个数发生变化的S值为
$(20 - 40 n + 28 n^2 - 8 n^3 + n^4)^2 + (160 - 480 n + 516 n^2 - 232 n^3 + 20 n^4 + 16 n^5 - 3 n^6) S^2 + (-9 + 18 n - 15 n^2 + 6 n^3 + 2 n^4) S^4 $$+ (-10 + 10 n + n^2) S^6 - S^8=0$的最大正根

wayne

6# wayne
，Sturm's theorem

数学星空

一般的对于四次方程(含参数)

\(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4=0\)

实根数发生变化的条件:

\(-192a_4^2a_0^2a_3a_1-6a_4a_0a_3^2a_1^2+144a_4a_0^2a_2a_3^2+144a_4^2a_0a_2a_1^2+18a_4a_3a_1^3a_2+a_2^2a_3^2a_1^2-4a_2^3a_3^2a_0-27a_4^2a_1^4+256a_4^3a_0^3-128a_4^2a_0^2a_2^2-4a_3^3a_1^3+16a_2^4a_4a_0-4a_2^3a_4a_1^2-27a_3^4a_0^2-80a_4a_3a_1a_2^2a_0+18a_3^3a_1a_2a_0=0\)

对照1#的方程有

\(a_0 = -S^2-1, a_1 = (2n-4)S, a_2 = S^2-n^2+4n-4, a_3 = 2(1-n)S, a_4 = (n-1)^2\)

代入整理得:

\(S^8+(-10n+10-n^2)S^6+(9-6n^3-2n^4-18n+15n^2)S^4+(232n^3-516n^2+480n-16n^5-160+3n^6-20n^4)S^2-400+1600n+2560n^3-2720n^2-120n^6+528n^5-1464n^4-n^8+16n^7=0\)

即7#的结果