能否证明？有没有通式？

northwolves

还没仔细看那个连接呢，测试了一下，果然如此。
郭老师请通知他们一声，以免继续误人。

gxqcn

我的E文不好，你去跟他们说吧。

mathe

我给个求解过程吧
对于$k>=4$，假设
$2^k=a_k^2+7*b_k^2=(a_k+sqrt(7)ib_k)(a_k-sqrt(7)ib_k)$
我们知道$a_k^2+7*b_k^2=a_k^2-b_k^2+8*b_k^2=0(mod 16)$，我们可以得到$a_k^2-b_k^2=8(mod 16)$
所以有两种情况
i)$a_k+b_k$中2的次数为2,$a_k-b_k$中2的次数为1
ii)$a_k+b_k$中2的次数为1,$a_k-b_k$中2的次数为2
而考虑到
$2^{k+3}=(a_k+sqrt(7)ib_k)(a_k-sqrt(7)ib_k)(1+sqrt(7)i)(1-sqrt(7)i)$
$=(a_k+b_ksqrt(7)i)(1+sqrt(7)i)(a_k-sqrt(7)ib_k)(1-sqrt(7)i)$
$=((a_k-7b_k)+(a_k+b_k)sqrt(7)i)((a_k-7b_k)-(a_k+b_k)sqrt(7)i)$
同样还可以得到
$2^{k+3}=((a_k+7b_k)+(a_k-b_k)sqrt(7)i)((a_k+7b_k)-(a_k-b_k)sqrt(7)i)$
所以如果是情况i),我们可以得到
$2^{k+1}=({a_k+7b_k}/2+{a_k-b_k}/2sqrt(7)i)({a_k+7b_k}/2-{a_k-b_k}/2sqrt(7)i)$
$=({a_k+7b_k}/2)^2+7*({a_k-b_k}/2)^2$
$2^{k-1}=({a_k-7b_k}/4)^2+7*({a_k+b_k}/4)^2$
同样对于情况ii)我们也可以得到类似的计算方法。
而且我们容易证明，这种方法对于任意k的解都可以得到一个k+1和k-1的解，而且是一一对映的。由此，我们只需要验证k=3的情况解唯一就可以证明所有的k,解存在而且唯一

gxqcn

厉害！

请教：但似乎没提到“奇数解”这个限定，是不是隐藏在哪里了？

gxqcn

因 $a_3=b_3=1$
按你的递推公式将为：$a_4=4,\quadb_4=0$
但实际上则为：$a_4=3,\quadb_4=1$

也就是说用递推公式将会出现偶数解。

我刚才还琢磨：若有如此简洁的递推公式，那就一定存在初等函数的通项公式。

mathe

原帖由 gxqcn 于 2008-12-25 08:52 发表
因 $a_3=b_3=1$
按你的递推公式将为：$a_4=4,\quadb_4=0$
但实际上则为：$a_4=3,\quadb_4=1$

也就是说用递推公式将会出现偶数解。

我刚才还琢磨：若有如此简洁的递推公式，那就一定存在初等函数的通项公式。

要根据$a_k+b_k$是否4的倍数分两种情况，其中我只给出$a_k+b_k$是4的倍数的情况，另外一种情况自己推导一下就可以

gxqcn

明白了，因为有两种情况，且混合出现，所以没有初等的通项公式。

如果是程序设计，用 mathe 推导的递推公式是非常便于计算的，因为只有四则运算而已。