一个极限问题

mathe

已知${a_k}$是一个严格单调增非负整数序列，记
$f(x)=\sum_{k=0}^{infty}\frac{x^{a_k}}{a_k!}$
请问$\lim_{x->+infty}f(x)^{1/x}$是否必然存在？
如果已经知道这个极限存在，那么应该是多少？

仙剑魔

显然f(x)<=e^x,因为e^x是所有非负数项的累加
这个极限的最大值不会大于e

在x->+∞时,lim f(x)/e^x=1
应该计算lim (f(x)/e^x)^(1/x)是否为1
另f(x)=e^x-R(x)
lim (f(x)/e^x)^(1/x)=lim (1-R(x)/e^x)^(1/x)
这里如果展开(我忘了这样做是不是符合极限运算法则)的话,算出来确实是1
所以我认为结果应该是e