求倍三角数对

sunwukong

求这样的三角数对，其中一个三角数是另一个三角数的2倍。即解丢番图方程\[2x(x+1) = y(y+1)\]

mathe

可以转化为Pell方程
$8x(x+1)+2=4y(y+1)+2$
也就是
$2(2x+1)^2=(2y+1)^2+1$

medie2005

X[0]=0
Y[0]=0
或者
X[0]=-1
Y[0]=0

X[n+1] = 3*X[n] + 2*Y[n] + 2
Y[n+1] = 4*X[n] + 3*Y[n] + 3

wayne

呵呵，无意间浏览到的，发现这个题跟我的主题其实是一道题，这道题答案是
$1/4*(sqrt(2)+1)^(2n+1)$(n为正整数)的整数部分。

楼主可以移步到主题
“寻找完全平方数 k^2+(k+1)^2”

{3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659, 27304196, 159140519, 927538920, 5406093003, 31509019100, 183648021599, 1070379110496, 6238626641379, 36361380737780, 211929657785303, 1235216565974040}

nyy

mathe 发表于 2009-1-19 08:31
可以转化为Pell方程
$8x(x+1)+2=4y(y+1)+2$
也就是

x = 0
y = 0

and also:
x = -1
y = -1

Recursive solutions:

xn+1 = 3 ⁢xn + 2 ⁢yn + 2 ⁢
yn+1 = 4 ⁢xn + 3 ⁢yn + 3 ⁢

and also:

xn+1 = 3 ⁢xn - 2 ⁢yn
yn+1 = - 4 ⁢xn + 3 ⁢yn -  1

王守恩

mathe 发表于 2009-1-19 08:31
可以转化为Pell方程
$8x(x+1)+2=4y(y+1)+2$
也就是

   求 2x(x+1)=y(y+1) 的所有正整数解    LinearRecurrence[{7, -7, 1}, {0, 0, 2}, 20]

x={2, 14, 84, 492, 2870, 16730, 97512, 568344, 3312554, 19306982, 112529340, 655869060, 3822685022, 22280241074, 129858761424, 756872327472, 4411375203410, 25711378892990}

   求 2x(x+1)=y(y+1) 的所有正整数解    RecurrenceTable[{a[n + 2] == 2 + 6 a[n + 1] - a[n], a[1] == a[0] == 0}, a[n], {n, 2, 19}]

x={2, 14, 84, 492, 2870, 16730, 97512, 568344, 3312554, 19306982, 112529340, 655869060, 3822685022, 22280241074, 129858761424, 756872327472, 4411375203410, 25711378892990}

nyy

王守恩 发表于 2023-5-6 16:23
求 2x(x+1)=y(y+1) 的所有正整数解    LinearRecurrence[{7, -7, 1}, {0, 0, 2}, 20]

x={2, 14, 84 ...

你的这个回答与问题有关吗？？？递推公式不一样

XIAOWEN

这是一个二次且非线性的方程，可以通过一些代数方法求解。我们可以将该方程看成一个关于 y 的二次方程：

y^2 + y - 2x(x+1) = 0

根据二次方程的通解公式，有：

y = [-1 ± sqrt(1 + 8x(x+1))] / 2

由于 y 是正整数，因此必须满足 sqrt(1 + 8x(x+1)) 是奇数。

令 k = sqrt(1 + 8x(x+1))，则 k 必须是奇数，也就是说 k 可以表示成 m + n，其中 m 和 n 均为正整数且 m > n。

将 k 带入原方程可得：

2x(x+1) = (m+n)(m-n)

注意到 m+n 和 m-n 都是偶数，因此可以分别设其为 2a 和 2b。

则有：

x(x+1) = ab

如果知道了 a 和 b 的值，就可以通过这个等式构造出 x 的值。而对于任意的 a 和 b，都可以通过这个等式构造出一个满足条件的正整数解。

总结一下，求解步骤如下：

1. 枚举所有的 a 和 b （a≥b）。

2. 计算 ab，如果不是正整数，则跳过。

3. 求解 x(x+1) = ab，如果不是正整数，则跳过。

4. 如果 x(x+1) = ab 是正整数，则通过计算得到 y 的值，即：

   y = (m+n)/2 或 (m-n)/2

   其中，m 和 n 分别为 k 的两个正因子，满足 m+n=k，且 m > n。

5. 检验求解出的 x 和 y 是否满足原方程。

6. 如果满足，则 (x, y) 为一个解。

王守恩

nyy 发表于 2023-5-6 18:58
你的这个回答与问题有关吗？？？递推公式不一样

   求 2x(x+1)=y(y+1) 的所有正整数解   

1,x={2, 14,  84, 492, 2870, 16730,  97512, 568344, 3312554, 19306982, 112529340, 655869060, 3822685022, 22280241074, 129858761424,  756872327472, 4411375203410, 25711378892990,}
x(n)=LinearRecurrence[{7, -7, 1}, {0, 0, 2}, n]=(Fibonacci[2 n + 1, 2] - 1)/2
   
2,y={3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659, 27304196, 159140519, 927538920, 5406093003, 31509019100, 183648021599, 1070379110496, 6238626641379, 36361380737780,}
y(n)=LinearRecurrence[{7, -7, 1}, {-1, 0, 3}, n]=(LucasL[2*n + 1, 2] - 2)/4

\(3, y/x=\sqrt{2}\)

nyy

王守恩 发表于 2023-5-7 16:13
求 2x(x+1)=y(y+1) 的所有正整数解   

1,x={2, 14,  84, 492, 2870, 16730,  97512, 568344, 3312 ...

看不懂