VMF problem

danghajdang

Let $ x_{i}$ be the root of the inequation:
$ x^2 - 2a_ix + (a_i - 1)^2 \le 0$
$ (i = \bar{1;n} )$
& $ \frac{1}{2} \le a_i\le 5 , i = 1, 2, ..., n$.
Prove that:
$ \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}{2n}} \le 1 + \dfrac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

mathe

首先条件相当于1/2<x_i<8,对于n=1,2直接处理

mathe

其余的，查看每个x_i都是二次方程，只有查看对于两个端点成立即可，所以只要在每个x_i都是1/2或8时成立即可。设1/2的数目是n*u,8的数目n*(1-u),代入就是关于u的二次不等式，直接计算即可