寻找新的素数

数论爱好者

2^2n+3^2n
仅当n=1,2时,产生13和97两个素数吗?n=3..400一个也没有,能有分解式吗?
793,6817,60073,535537,4799353,43112257,387682633,3487832977,........都是合数
912034456046446591670769941126967809732389880184402449207672199113900844686121690619349723494517132466707479117567090384276897这个数分解了一分钟没有干出来

数论爱好者

2^2n+3^2n
当n取奇数时,含有因子13,n=3,5,7,9...
当n取4m的奇数倍时,含有因子17,n=4,12,20
当n取4m+2的时,含有因子97,第6项,第10项,第14项
唯一不确定的是n取8的倍数,因子很难确定,第8项,第16项,第32项,即n取2^2n时,无规律

数论爱好者

2^128+3^128
257*45876204582640401445607833244277975113391731388650867226881
一会儿就到了2^1024+3^1024,电脑只能判断,不能分解了
2^2n+3^2n,n>2不可能有素数了

hujunhua

当n为大于1的奇数时，有代数分解式，肯定不是素数。所以可能为素数的形式只是n取2幂的形式，即2^(2^n)+3^(2^n).

这样的话，就与费马数猜想相类了。

mathe

$2^n+3^n$是素数，我们可以非常容易推导出$n$必须是2的幂
假设$n$有奇数素因子p,设$r=n/p>=1$,由于$x+y|x^r+y^r$
于是$2^n+3^n=(2^r)^p+(3^r)^p$,所以$2^r+3^r|2^n+3^n$，而且$2^n+3^n>2^r+3^r>1$
由此得出n只能有素因子2，所以n是2的幂

mathe

现在设$n=2^a$,假设$P=2^{2^a}+3^{2^a}$是素数,于是$P|2^n+(3+P)^n=2^n(1+({3+P}/2)^n)$
由于在$a>=1$时$(P,2)=1$,所以得出$P|1+({3+P}/2)^n, ({3+P}/2)^{2^a} -= -1(mod P)$
于是我们得出$2^{a+1}|\varphi(P)=P-1$, 所以$3^{2^a}-1 -= 2^{2^a} (mod 2^(a+1))$
由于在$a>=1$时，$2^a>=a+1$,所以我们知道在$a>=1$时$(4-1)^{2^a} -= 1(mod 2^{a+1})$
前面弄错了，还没有分析出有用的信息

数论爱好者

分析得很好!像这类型的素数太少.我爱胡思乱想,能不能弄个编程筛一下,这种素数到底有几个
n^2m+(n+1)^2m
这里2m取2的方幂,范围到2m=1024吧,n就取到1000吧,估计能有3000个素数,一个n平均取到3个素数.当m=0,1,2,3时不要了,这时素数有点多,从4开始吧.
要找像以下这样的素数
8^32+9^32,
95^64+96^64
31^128+32^128
37^128+38^128
65^128+66^128

数论爱好者

估计n^1024+(n+1)^1024不会有素数,n从1到400未找到素数

lsr314

A215433 是$2^m=512$的:

$59, 864, 1455, 1723, 2118, 2172, 2460, 2851, 2916, 2971, 3193, 3476, 3747, 3782, 3795$

链接里有$m<10$的，$m=10$的搜不到。但是一般这种多项式里都有无限多个素数，并且分布有一定的规律，有人给出过猜测的渐进式。

lsr314

找到一个$m=10$的：$1078^1024+1079^1024$