三个数任意两个乘积的加上第三个是平方数

葡萄糖

求三个有理数，其中任意两个乘积的加上第三个是平方数（不一定要完全平方数）
xy+z=a²;
xz+y=b²;
yz+x=c²;
\[xy+z=a^2\\
xz+y=b^2\\
yz+x=c^2\]
题目源自
Volume 2 of Dickson’s ”History of the Theory of Numbers”
（虽然英文原版题目没有给出非零、非负和互不相等这些限制）
所以可能会有一些平凡解

zeroieme

0、1、n^2 平凡解

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zeroieme 发表于 2018-7-29 16:26
0、1、n^2 平凡解

用MMA得到了一些整数解：

1. FindInstance[ x y + z == a^2 && y z + x == b^2 && x z + y == c^2 && a != b && b != c && c != a, {x, y, z, a, b,  c}, Integers]

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\begin{align*}
(-3)\times(-6)-14&=2^2\\
(-3)\times(-14)-6&=6^2\\
(-6)\times(-14)-3&=9^2
\end{align*}

1. FindInstance[ x y + z == a^2 && y z + x == b^2 && x z + y == c^2 && x > 0 && y > 0 && z > 0 && a != b && b != c && c != a, {x, y, z, a, b,  c}, Integers]

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\begin{align*}
1\times25+96&=11^2\\
1\times96+25&=11^2\\
25\times96+1&=49^2
\end{align*}

lsr314

$1,1,n^2-1$也是平凡解。
假如$z=1$,那么$x y+1=a^2,x+y=b^2=c^2$,只要$y^2-b^2y+a^2-1=0$有有理数解即可，也就是只要$b^4+4=4a^2+s^2$有有理数解,只要$b^4+4$因子足够多即可。

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在arXiv上搜”History of the Theory of Numbers”，在一篇论文里找到一组很漂亮的解\((x,y,z)=\left(\frac{25}{9},\frac{64}{9},\frac{196}{9}\right)\)，而且\(x\)，\(y\)，\(z\)也是平方数
\[ \begin{align*}
\frac{25}{9}\times\frac{64}{9}+\frac{196}{9}&=\left(\frac{58}{9}\right)^2\\
\frac{25}{9}\times\frac{196}{9}+\frac{64}{9}&=\left(\frac{74}{9}\right)^2\\
\frac{64}{9}\times\frac{196}{9}+\frac{25}{9}&=\left(\frac{113}{9}\right)^2
\end{align*} \]
https://wenku.baidu.com/view/d7d70812cc7931b765ce15b4.html
而且这组解还满足一个方程组：
\[ xy+x+y=u^2\\
xz+x+z=v^2\\
yz+y+z=w^2 \]
\[ \begin{align*}
\frac{25}{9}\times\frac{64}{9}+\frac{25}{9}+\frac{64}{9}&=\left(\frac{49}{9}\right)^2\\
\frac{25}{9}\times\frac{196}{9}+\frac{25}{9}+\frac{196}{9}&=\left(\frac{83}{9}\right)^2\\
\frac{64}{9}\times\frac{196}{9}+\frac{64}{9}+\frac{196}{9}&=\left(\frac{122}{9}\right)^2
\end{align*} \]

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在AOPS上找到一个恒等式：
\begin{align*}
\left[r^2(s+t)^2+2prt^2\right][2(pt+rs)(pt+2rs)]+2pt(pt+rs)\left[r^2(s-t)^2-2prt^2\right]&=\left[2r(s+t)(pt+rs)\right]^2 \\
\left[r^2(s+t)^2+2prt^2\right]\left[r^2(s-t)^2-2prt^2\right]+2pt(pt+rs)[2(pt+rs)(pt+2rs)]&=\left[r^2(s^2-t^2)+4prst+2p^2t^2)\right]^2\\
[2(pt+rs)(pt+2rs)]\left[r^2(s-t)^2-2prt^2\right]+2pt(pt+rs)\left[r^2(s-t)^2-2prt^2\right]&=\left[2r(s-t)(pt+rs)\right]^2
\end{align*}
可是，好像有些解这个恒等式组无法表示

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意大利数学家柯萨里(P.Cossali ,1748-1815)发现
\begin{align*}
r^2s^2+(r-s)^2\left[2r^2+2s^2+2(r-s)^2\right]&=\left(2r^2-3rs+2s^2\right)^2 \\
r^2\left[2r^2+2s^2+2(r-s)^2\right]+(r-s)^2s^2&=\left(2r^2-rs+s^2\right)^2\\
s^2\left[2r^2+2s^2+2(r-s)^2\right]+(r-s)^2r^2&=\left(r^2-rs+2s^2\right)^2
\end{align*}
https://it.wikipedia.org/wiki/Pietro_Cossali

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找到一族解：\((x,y,z)=\left(\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}+v\right)^2+uv,\frac{2}{u}\left(\frac{2}{u}-\frac{u}{2}\right),\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}-v\right)^2-uv\right)\)
\begin{align*}
\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}+v\right)^2+uv\right]\left[\frac{2}{u}\left(\frac{2}{u}-\frac{u}{2}\right)\right]+\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}-v\right)^2-uv\right]&=\left[\frac{2}{u}\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}+v\right)\right]^2 \\
\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}+v\right)^2+uv\right]\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}-v\right)^2-uv\right]+\left[\frac{2}{u}\left(\frac{2}{u}-\frac{u}{2}\right)\right]&=\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}-v\right)^2+2uv+\frac{u^2}{2}\right]^2\\
\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}-v\right)^2-uv\right]\left[\frac{2}{u}\left(\frac{2}{u}-\frac{u}{2}\right)\right]+\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}+v\right)^2+uv\right]&=\left[\frac{2}{u}\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}-v\right)\right]^2
\end{align*}

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可是，如何得到如下方程的一族解呢？
\begin{align*}
xy+z&=a^2\\
xz+y&=b^2\\
yz+x&=c^2\\
xy+x+y&\ne d^2\\
xz+x+z&\ne e^2\\
yz+y+z&\ne f^2
\end{align*}