x^y=x+y的正整数解

manthanein · 发表于 2019-1-15 15:54:58

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本帖最后由 manthanein 于 2019-1-15 15:59 编辑

貌似只有x=y=2，如何证明呢？

mathematica · 发表于 2019-1-15 16:47:55

Clear["Global`*"];
Manipulate[h1=Plot[x^y,{x,1,10}];h2=Plot[x+y,{x,1,10}];Show[h1,h2,PlotRange->{{1,10},{1,30}}],{y,1,20,1}]

复制代码

证明
y=1无解
y=2求解一下
y>=3证明在区间【2到无穷大】增函数大于零

mathe · 发表于 2019-1-15 19:21:02

`x≠1,y≠1`显然，在`x>1,y>1`时得出`x+y=(1+(x-1))^y>1+y(x-1)`
所以`1+xy-2y-x<0`.
`(x-2)(y-1)<1`
`(x-2)(y-1)=0`
所以`x=2`, 代入原方程得`2+y=2^y=(1+1)^y≥1+y+y(y-1)/2`
所以`y(y-1)≤2`, 得`y=2`.

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