如何求等腰三角形面积的最大值?

mathematica

在等腰三角形ABC中AB=AC
D是AC的中点, 中线长BD=6,
问啥情况下ABC的面积最大, 是多少?

有什么简单的办法求解这个问题?

设BD=m,然后求解出各个量之间的关系

1. (*假设AB=AC=2x,BC=y,BD=m,角BDA的余弦值+角BDC的余弦值等于零*)
   
2. FullSimplify[Maximize[{Sqrt[(2*x)^2-(y/2)^2]*y/2,(m^2+x^2-4*x^2)+(m^2+x^2-y^2)==0&&x>0&&y>0},{x,y}], Assumptions ->m>0]
   

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求解结果
\(\left\{\frac{2 m^2}{3},\left\{x\to \frac{\sqrt{5} m}{3},y\to \frac{2 \sqrt{2} m}{3}\right\}\right\}\)

mathematica

利用拉格朗日乘子法

1. Clear["Global`*"];
   
2. u=(((2*x)^2-(y/2)^2)*(y/2)^2)+k*((m^2+x^2-4*x^2)+(m^2+x^2-y^2))
   
3. ux=D[u,x]
   
4. uy=D[u,y]
   
5. uk=D[u,k]
   
6. Grid@FullSimplify@Solve[ux==0&&uy==0&&uk==0,{x,y,k}]
   

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\[
\left\{\left\{x\to 0,y\to -\sqrt{2} m,k\to -\frac{m^2}{4}\right\},\left\{x\to 0,y\to \sqrt{2} m,k\to -\frac{m^2}{4}\right\},\{x\to -m,y\to 0,k\to 0\},\{x\to m,y\to 0,k\to 0\},\left\{x\to -\frac{1}{3} \left(\sqrt{5} m\right),y\to -\frac{1}{3} \left(2 \sqrt{2} m\right),k\to \frac{4 m^2}{9}\right\},\left\{x\to \frac{\sqrt{5} m}{3},y\to -\frac{1}{3} \left(2 \sqrt{2} m\right),k\to \frac{4 m^2}{9}\right\},\left\{x\to -\frac{1}{3} \left(\sqrt{5} m\right),y\to \frac{2 \sqrt{2} m}{3},k\to \frac{4 m^2}{9}\right\},\left\{x\to \frac{\sqrt{5} m}{3},y\to \frac{2 \sqrt{2} m}{3},k\to \frac{4 m^2}{9}\right\}\right\}
\]

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*利用海伦公式,平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和*)
   
3. p=(2*x+2*x+y)/2
   
4. FullSimplify[Maximize[{p*(p-2*x)^2*(p-y),2*((2*x)^2+y^2)==(2*m)^2+(2*x)^2&&x>0&&y>0},{x,y}],Assumptions ->m>0]

复制代码

\[\left\{\frac{4 m^4}{9},\left\{x\to \frac{\sqrt{5} m}{3},y\to \frac{2 \sqrt{2} m}{3}\right\}\right\}\]

倪举鹏

Solve[Sqrt[4*x^2 - h] == Sqrt[x^2 - h] + 8, h]         {{h -> 1/256 (-4096 + 640 x^2 - 9 x^4)}}     求h最大就行啊，-4096 + 640 x^2 - 9 x^4的极值

hujunhua

在BD上取三角形ABC的重心G，BG=CG=2/3BD.
三角形BGC的面积等于三角形ABC面积的1/3, 因此两者取极值的条件相同.
显然角BGC为直角时，三角形BGC的面积最大.

mathe

三角形面积是BAD面积的两倍，AB是AD两倍，A点轨迹是圆，这个圆上到BD最大距离的点就是A的最优取值.
圆交BD于D点两侧，到D距离分别为2,6，所以圆半径为4,即A到BD最大距离为4,三角形面积最大值为24

mathematica

哪位好心人把编辑了我的帖子?我原本是E是正的常数,且E不会被加减乘数所吸收,
现在变成了变量m,运行结果完全变了!
看来根本没理解我的意图呀

hujunhua

mathematica 发表于 2019-2-21 08:29
哪位好心人把编辑了我的帖子?我原本是E是正的常数,且E不会被加减乘数所吸收,
现在变成了变量m,运行结果完 ...

哦哦，是我改的。我们一般用 m 表示中线长。
就是因为觉得 e 容易与数学常数相混淆才改的，没领会你是刻意为之。
这也算是符号常量的妙用吧

但是这种取巧不是正路。套在Assuming里面或者加一个Assumption就行了。
@wayne 有其它办法自定义符号常量么？

mathematica

hujunhua 发表于 2019-2-21 10:38
哦哦，是我改的。我们一般用 m 表示中线长。
就是因为觉得 e 容易与数学常数相混淆才改的，没领会你是 ...

我比较土,不会假定变量大于零,于是就想到了用E这些常数来解决问题,
E是常数,然后又不会因为加减乘除被消化掉,所以能看成伪变量,
E的变量名也短,所以我就用E了!
你的代码之前改对的,现在又有问题了

wayne

但是这种取巧不是正路。套在Assuming里面或者加一个Assumption就行了。
@wayne 有其它办法自定义符号常量么？

很荣幸被老大at，赶紧跑过来。^_^
这个问题一下子问倒我了， 我尝试一下解答，不知道对不对。
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Mathematica在语言级别好像只有符号，没有变量这个概念。一切皆表达式，然后符号Symbol是表达式的名字，ID。符号可以绑定一个值(value)。我们可以通过ValueQ[SymbolName] 来查看SymbolName这个符号是否赋予了值(value)，但是绑定了值的符号也只是有值的符号，仍然还是 符号，不叫变量。

但是在数学和计算机的层面，倒是有变量这个概念。这里的概念已经脱离了语言的范畴，比如 Variables[f]，返回的是多项式f的所有"变量"。也就是说是前面提及的符号Symbol

其他像C/C++/java 这类的语言才有变量的概念，此时的变量就是值指向了一块内存地址的标识符。这里的变量跟数学意义的变量不是一个意义。