7可否分解为三个有理数的平方和

葡萄糖

标题中的问题即为如下不定方程是否有非零整数解\(\left(a,b,c,d,e,f\right)\)
\begin{align*}
&&\left(\dfrac{a}{b}\right)^2+\left(\dfrac{c}{d}\right)^2+\left(\dfrac{e}{f}\right)^2&=7\\
&\Rightarrow&\left(adf\right)^2+\left(bcf\right)^2+\left(bde\right)^2&=7\left(bdf\right)^2
\end{align*}
勒让德三平方和定理(Legendre's three-square theorem)：
非\(4^a\left(8b+7\right)\)型的自然数都可以用三个整数的平方和表示
那么，正有理数能否用三个有理数的平方和表示？
《品数学》吴振奎，吴旻，吴彬
写道：若将“四平方和定理”中平方数推广至有理数，则只须3个有理数平方和便可表示全部自然数。
但是没有给出文献资料

lsr314

如果$x^2+y^2+z^2=7$,假设$x,y,z$的分母的最小公倍数是$u=2^t*m$,其中m是奇数。那么
$(ux)^2+(uy)^2+(uz)^2=7u^2=7*4^t*m^2$
由于$m^2=1 mod 8$,所以$7*4^t*m^2$是形如$4^a(8b+7)$的数，矛盾。
应该是只须3个有理数立方和便可表示全部自然数吧。

葡萄糖

lsr314 发表于 2019-3-4 23:29
如果$x^2+y^2+z^2=7$,假设$x,y,z$的分母的最小公倍数是$u=2^t*m$,其中m是奇数。那么
$(ux)^2+(uy)^2+(uz)^2=7u^2=7*4^t*m^2$ ...

这个反证法证明的不错（关于7可否由三个有理平方数之和表示的问题）
如果有理数组\(\left(a,b,c,d,e,f\right)\)满足：
\begin{align*}
&&\left(\dfrac{a}{b}\right)^2+\left(\dfrac{c}{d}\right)^2+\left(\dfrac{e}{f}\right)^2&=7\\
&\Rightarrow&\left(adf\right)^2+\left(bcf\right)^2+\left(bde\right)^2&=7\left(bdf\right)^2
\end{align*}
则\(\,\operatorname{lcm}\left(b,d,f\right)\ne2^t\!\left(2k-1\right)\,\)
然而\(\,2^t\!\left(2k-1\right)\,\)又包含了所有自然数。
书中原文如下：