代数几何-過去五十年和未來一百年

数学星空

转自博士家园论坛，笔名Quillen网友的系列文章，未做任何修改，有错别字请见谅！
谁能将繁体转为简体，并将其中不同的翻译修改过来？（注：已通过word进行转换，gxqcn编辑）


我想谈谈过去五十年和我预测未来一百年的代数几何，我将一次次分开讨论，如果有兴趣请支持:

1940-1965

代数几何在1900年以前，已经有了代数曲面的部分理论 和代数曲线上的Riemann-Roch定理，但是语言和概念处于一个混乱的状态. 在1950到1965年间 出现了三个巨大的革命.奠定了代数几何的秩序描述了重要的问题，提供了未来发展的方向.:::
她们是 Hodge(加一堆人) 开创复几何，Kodaira 的三大工作 和 Grothendick 的抽象语言及新定义(问题):

让我先讲第一项工作.

Hodge + Lefschetz + Kaehler 考虑了复流形的定义和一般的性质，Kaehler 引入了 Kaehler 度量，

Hodge 利用了分析中著名的"Elliptic regularity" 对Kaehler 流形的上同掉群作了至今仍然神秘的 Hodge 分解，并且提出著名的 Hodge猜想，Lefschetz 证明了Hodge猜想的非常特殊情形，并且证明了他的截面定理，用以连结一平滑代数促和其截面的同掉群.

这是一连串故事的开始，这个故事到现在，甚至以后一百年内 都不会结束.


Kodaira 的三大工作:

(1)Kodaira 证明了 当复流形上的 Kaehler form 的 上同调 是 有理的时候，该负流行就可以全纯嵌入到 复射影空间之中. 而且也证明这是唯一的条件. 至今称为 Kodaira embedding.

(2)Kodaira 把意大利学派对复曲面初步工作做了全面性地毯式的推广，对复取面利用他的 "Kodaira dimension" 作了一个本质上的分类，对分类中的几个大项都做了完全的讨论，尤其是对曲面作为 一个over 曲线 的 fibration，对其 sigular fiber (椭圆情形)作了分类，至今称之为 Kodaira Classification.

(3)Kodaira 研究了复流形的变形理论，对一阶变形做了详细的了解. 将一阶变形表达为切丛的第一阶上同调群，证明了至今称为 Kodaira Spencer 映射 的存在性，

这三个工作，不论是哪一个 ..都是无比的巨大. 每一个工作都没有做完，但都做了开创性的一步，也显现了复曲面理论的三个主要观点: 做为射影空间的子簇，作为over一个更低维度流形的 fibration，作为其他更好了解的复流形的变形.

配合 Chow 的工作，Kodaira 和 Chow 完全刻画那些可以做为射影空间子簇的复流形，知道她们正是那些用多项式在射影空间切出的子簇. 复几何从此成为袋鼠几何的心腹(大患)

嵌入定里使用了 正曲率向量丛之上同调的消灭定理，这个消灭定理队高维流形的分类起了作用，也引发了后续的研究 比如寻找更强的消末定理

对曲面的分类，留下了 general surface 和她们的 moduli 问题，其使用的fibration 技术，成为人们研究曲面和更高维流形的主要工具

变形理论被 Kuranishi 更一步拓展. 证明了有名的 Kuranishi Obstruction Theory (障碍理论)，描述复流形变形的障碍，发现了 Kuranishi 映射，成为理解曲面(或任何袋鼠几何研究对象) 模空间局部图形的刻画方法.其数论面被Nicolas Katz研究其 over Spec Z 的变形性质，帮助了 Deligne 证明 Weil 猜想.

Kodaira 是神..

Grothendick

Grothendick，是一个很难听的名字.如果你学过德文，你会知道 Grothen 是大的意思，Dick是老二的意思.所以合起来就是 这个人的名字很 Diaoˇ

他是真的很 Diao ˇ，他伙同了一票同事和弟子，建立了他的 Program of Scheme，写下了 EGA SGA 和 FGA，就是袋鼠几何初步，研习，和基础 的意思. 他又提出了 Etatle Theory，Topo 的概念，Weil 猜想 的可能解法，证明了他的 Grothendick Riemann Roch 公式

关于上述几个工作，我来讨论依下: Scheme (我想中国翻译成概形) 是研究代数簇一定会要关心的对象，主要有两个原因，一是一个簇到另一个簇的映射，其fiber (一点 的原象)不一定是个簇，但一定是一个"概形"，另一个理由是在研究算数几何时，要研究over 不是复数体的概形，必须使用 scheme 的概念.

这只是一个简单的概念，基本上概形就是 由几个交换代数黏贴起来的图形，所有的性质都可以用交换代数描述的.但是在使用Cech 上同调来讲sheaf的理论时，有特别得便利之处，另外在变形理论中，复流形的变形比scheme的变形难描述的多.

Etale cohomology 是 scheme/K 在K 不是复数时 的模拟于 singular cohomology 或 DeRam cohomology 的东西.而 Etale homotopy 则是此情形的 homotopy. 两者都和 K 的算数性很有关系，是模拟于拓墣理论但是实际上把 Gal(K_1/K)，包进去的概念，其中K_1 是K的代数闭包.

这 Etale cohomology 后来被 Deligne 拿来解决 Weil Conjecture 的伊部份，其实很大程度是只是表面的技术问题，但是想法是很突破性的: 把算术和几何做了一个很恰当的合并.

Topo 是很新的概念，当时没有人注意，但现在 对 (moduli) Stack (中文可能翻译为堆积) 很有影响当时是被拿来推广原来的"拓墣中的开集合"，用于定义 Etale cohomology 和 homotopy.

Grothendick 虽然做了很多重要的工作，对后人有很大的影响，但在本人的看法中，他的工作主要是语言的建立，除了很多技术性的部分之外，他的直觉并不是一种往常意义下的直觉，而他是显然崇尚于 "抽象化可以解决一切问题" 的数学家，据我所知 有很多人学 EGA SGA 学到死胡同里，其实是他学派大部分的后人都是如此，只有少数几个例外，其实原因很简单，数学不应该是以抽象的语言为本质，抽象化是数学的一大部分，但做为工具的成分多余作为研究的对象的成分，就像 算子论，纯代数，等等工具，很快整个科目就会枯竭，留下的价值是，所有人都要学习之，但并没有后续的问题.

毕竟 数学真正的对象，除了物理问题以外，是 几何(拓墣) 与 数...

而方法..只因为研究的对象而重要....


1965-1980

这个时期得袋鼠几何工作比较分散，很多结果都变成了启发后面1980-2000 年工作的具体例子.主要是模空间理论的出现喊逐渐成熟: 这个时期的红人是 David Mumford，单个较大的工作团来自 Griffith 的领导，另外Daniel Quillen 作了非常抽象但在2005的今天逐渐揭示其重要性的工作:

(1) 特殊曲面模空间: Kulikov 和 Robert Friedman 完全刻画了K3曲面的 semistable 退化，Lefshetz 等人证明了K3 的 Torelli 定理，其中也用到了这个时期 Kuranishi 发展的障碍理论，非常具有其特殊意义，人们开始关心 模空间，

(2) 曲线模空间: Deligne 和 Mumford 制造了亏格数为g的曲线的模空间及其紧化，在其上计算了一些重要的几何上同调的相交数. 引入了 Moduli Stack 的观念，其中用了 Grothendick Topo 的语言，Artin 研究了抽象 Stack 的局部-全域 性质，Grothedick 的学生 Illusie 研究了重要的 Cotangent Complex，成为 stack 上一个酷毙的变形理论.

(3) 向量丛的模空间: 人们开始研究向量丛的模空间，Narasimhan 和 Seshadri 一系列的工作研究了曲在线向量丛模空间的制造和紧化，研究他们的拓墣和几何性质. Atiyah - Bott 从微分几何的方向来考虑相同的问题，对黎曼面上的向量丛模空间计算其betti 数.是 Gauge (规范) 理论在曲线上的经典之作，接下来我要讲这个时期中，David Mumford，Phillip Griffith，Daniel Quillen 的工作

(1) Daniel Quillen: 因为和Thom 共同证明了有名的 Cobordism Theorem，以及他开创了Homotopic Algebra，定义了 Higher K theorem 和发现其和 Chow group of Scheme 的关系，得到Fields medal.

不同于 Grothedick，Quillen 的工作更具有数学上的价值，他的 homotopical algebra 至今仍是一个谜，但是越来越多的数学问题都指向了解这个谜是终极的方法，Higer K sheaf 的上同调等于 Chow group，这个定理也是充满了神秘的面纱，从 1980 到 2005 没有人开清楚其中的真正的现象.


这次我想介绍一下 David Mumford 和 Phillip Griffith 的贡献和我对他们的个人意见.

David Mumford 是一个奇才. 他有两个主要的工作:

(1) 发展了 Geometric Invariant Theorem，也就是著名的几何不变量理论，这个理论研究，当有一个群 G 作用在一个簇 X 的时候，怎么样正确的找出 X/G (称之为 Quotient by G) 上的 scheme 的结构.

这个问题听起来很简单，如果只想做 X/G 上的拓墣或微分结构，几句话就可以说完，但是想有一个簇或是 解析结构，就变的复杂，这是代数几何研究 模空间的重要工具几乎所有的模空间的制造都是这种 X/G 的形式. 比如说曲线的模空间，一个簇里面的曲线的模空间，向量丛的模空间，霍奇结构的模空间，等等等等等等等 模空间..

(2) 曲线和 Abelian Variety 的模空间的紧化问题: 模空间的紧化一直是备受关注的问题，人们想知道几何对象的退化会变成什么样子，Mumford 研究了上述两种对象模空间的紧化，并证明了对任意几何物件退化的 " Semistable Degeneration" 定李，Mumford 也对 Abelien Group Scheme 作了一些贡献，对算数几何起了重大的影响.

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Phillip Griffith 相较之下，并没有这么杰出，他也就只做了一系列有关霍奇猜想的工作，他带领了一堆学生和工作伙伴，对霍奇结构的变形理论，和霍奇结构退化时的理论，作了相当的贡献，他主要的动机是想要研究 霍奇猜想和 Torelli 问题. 但是他 失败了 (ps: 霍奇猜想可看成是 torelli 的特例) 他也因此离开了数学界，留下了他的两个著名著作: (a) 和 Joe Harris 合写的 Principles in Algebraic Geometry (b) 和他的团队合写的 Topic in Transcendal Geometry

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在1965-1980这个时期中 Pierre Deligne 还提出了他的 Mixed Hodege Structure，也就是混霍奇结构，是不平滑的簇的霍奇结构. 另外Hironaka 也证明了 Resolution of Singularity 的大定理 得到非尔兹奖.
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作为此文的作者，我想说依下我的个人观点，虽然 Mumford 的工作比 Griffith 杰出，但是我以为这只是短暂的历史现象，Mumford 对他的学生非常恶劣.甚至盗取他的一伪超强女学生，的工作，相较之下Griffith 就带领出一批学生和合作者，他虽然失败于一个不可能的任务:解决霍奇猜想，但他的学生在下一个时期中，持续的在这个纲领上工作，也取得重要的结果，一直到1996镜对称猜想出现，袋鼠几何界对霍奇结构的重视突然飙高，随着这些故事，Griffith 的精神永存.





1974-1992 这个时期，是代数几何的一个黄金时期，这个时期有三个大猜想被解决，几个分支先后出现，能人辈出，真说的上风起云涌:

解决的猜想:

(1) Weil 猜想: Weil 在50年代提出了一个猜想，认为over Z 的一个簇的整数点的个数隐藏了该簇的拓墣性质，这是一个令人震惊的猜想，藉由几何对象连结了拓墣和算数，这个猜想由 Pierre Deligne 解决，他用了 etale cohomology 的各种性质，比如 Lefshetz 固定点公式，另外 Weil 将整数点合在一起写成一个生成函数，Deligne 证明了这个函数的黎曼猜想，这些工作是 Grothendick 的 Etale theory，甚至是代数几何，开始受到数论学家重视的原因.

(2) Mordell 猜想: Mordell 在 20 年代提出了他的著名猜想: 说一个亏格大于等于2又定义over Q 的代数曲线，只能有有限个有理数点. 这个猜想非常的简短漂亮，人们知道亏格零的曲线有有理数那么多有理数点，知道亏格一的曲线的有理数点形成一个有限生成交换群(这是Mordell 的定理)，如果证明了 Mordell 猜想，那就说明了曲线的有理数点结构决定其 Kodaira 维数.这又是一个联结算数和几何的特别猜想.

(Kodaira 维数是 Canonical bundle 的 section 的个数增长次数，曲线有三个Kodaira dimension，亏格0 -> K.D=复无限大，亏格1-> K.D.=0，亏格大于董于二->K.D.=1)

这个猜想被 Gerd Faltings 解决，Faltings 据说是一个天生下来学习 Grothendick 语言的数学家，他高中就把 Bourbaki的代数念完，大学把 EGA SGA 念完，他证明Mordell猜想的方法也是利用 Abelian Variety 的理论，这个人和 Pierre Deligne 是算数几何的宗师.

(3) Calabi 猜想: Calabi 提出他的著名猜想: 一个 Kaehler 形式可以调整为其Ricci曲率为给定的形式，邱成桐证明了这个猜想，也证明了 Kaehler Eisten 曲率的存在性，在 K trivial 的时候就是著名的 Calabi Yau 流形，一维时是椭圆曲线，二维是 K3 曲面或 Abelian 曲面，都只有一种拓墣结构，三维以上就不依样，至少有数万种 Calabi Yau 流形有不同的拓墣，随着物理的镜对称理论和弦论，Calabi Yau 流形变成了和 Eistein 四维时空流形(with Eistein 测度) 一样重要的物理概念，成为了到现在20年内代数几何得重要研究对象. 这个代数几何和物理的连结，某种意义上比前两个猜想的解决还要有意义. (Yau 的结果虽然是微分几何的，但对代数几何的应用非常多，也可能持续发现其应用，比如说 P^2 上只有一个 Kaehler 结构也可用此证明)


下次我将说到 Simon Donaldson，Maruyama+ David Gieseker，和 Gromov 的工作，虽然第一个和第三个不能算是代数几何学家，但是在21世纪的今天，他们的工作队代数几何起了深重的影响，就如 邱成桐的一样.



这次要介绍的是1980-1990中，承先启后的数学家，Simon Donaldson，Maruyama+ David Gieseker，和 Gromov :

先介绍 Gromov: Gromov 的主要工作是辛流形中仿全纯曲线的构造，以及其模空间的紧化，这个工作和代数曲线模空间的紧化有点类似，但不同的是仿全纯曲线只需要给定辛流形上一个可行的近复结构 (an compatible almost complex structure on the fixed symplectic manifold)，不需要该近复结构是可积的，Gromove 了解了这种曲线的"specialization"，也就是一连串这种曲线的极限曲线，有名的Gromov Compactness (紧化) 和 Uhlenbeck 的紧化 (见 Donaldson) 并称齐驱，后来 Ruan Youn Bin 和 Tian Gang 等人以此构造了数学上的 Gromov Witten 不变量 和所谓的量子上同调，现在是辛几何的主要研究方法. 这一工作对代数几何的重要性是很大的，至少 Kaehler 流形是 辛几何和代数几何的交会点，这上面的 Gromov Witten 不变量(也就是 数数看流行中有几条访全纯曲线) 是代数几何的一些古老问题解决的终极手段( 所谓的 Enumerative Algebraic Geometry 早有一百多年历史，只是一直没有系统的理论来统合，Gromov Witten 理论是其中依个选择)

其次介绍 Maruyama，David Gieseker: 他们的工作是层的模空间的构造，他们?#092;用了 David Mumford 的几何不变量理论(Geometric Invariant Theory) 考虑了一固定簇 X，上面给定其陈类(陈类是簇的完全拓璞信息)的所有的半稳定的层. 这一个(半)稳定性 (semi-stability) 被称为Gieseker (semi)stability. 这些层的搜集上面有一个天然的复结构，也就是(半)稳定层的模空间的复结构，这个空间和所有稳定的映像 C->X 的模空间有相似之处，在 X唯一个点时就是曲线的模空间(十年前由Deligne + Mumford 构造) Gieseker 还考虑了这种模空间的退化: 随着簇的退化，模空间当然也跟着退化(degeneration)，这个退化的手段这五年来慢慢成为代数几何的重要研究对象 (当然簇的退化已经有很多例子，比如说 K3曲面，或是代数曲线的退化)。

最后讲 Simon Donaldson:

Donaldson 考虑四维流行上面某依个向量丛上面办自对偶的连络的模空间，再这个空间上做一些天然同调类的相交，得到了一串量并证明这是该四维流形的微分结构不变量. 在他之前 smale 证明了大于四维的流形的 Poincare 猜想(和求同伦必和求同胚)，Freedman证明了四微的猜想，当时最大的拓墣问题还是三维Poincare猜想，一直到最近才被 牛怕了闷 先生解决，但是人们对微分拓墣的 Poincare 猜想毫无了解，也就是问如果流形是和球同胚是不是一定和球微分同胚. Donaldson 用上述的模空间的方法构造了四微微分流形的微分结构不变量，找出了一些拓墣流形上面不可能有任何微分结构，找出一个拓朴流形其上有两个以上甚至无线多个 微分结构..这些微分结构的判定就是靠上述构造的相交数..称为 Donalson 不变量，当四维流形世袋鼠曲面时，这个模空间和该向量从上所有稳定的复结构的模空间是差不多的，John Morgan & 李骏证明可用向亮丛的模空间上的相交数算出一样的量，这个情形就完全是袋鼠几何的范畴，一直到现在都还是一个很不清晰的状态。

后来有利用 Spin 结构造的 Seiberg Witten 不变量，比 Donaldson 的容易了解很多，人们也开始比较重视 Donaldson 不变量的代数几何面，因为其微分面很大部分已被 Seiberg Witten 取代，但是这个故事还没有完. Donaldson 的几位弟子和他本人在下一个世纪中继续的对数学做出创造性的贡献，..他的弟子是 Richard Thomas，Paul Sedal 等人.

下次我们将讨论1990到2006...也就是到今天，接下来的介绍因为将会强烈受到作者个人的研究和兴趣影响，可能会很不很客观，请大家提出任何可能的意见来讨论，我将介绍 Maxim Kontsevich，Mori，David Morrison，Kenji Fukaya，Raoul
Pandharipande&Okounkov，Marc Levine，Mark Gross，Kai Behrend，Li Jun，Richard Thomas(Donaldson 学派)，等人... 主要的头头是 Kontsevich 和 Mori. 但是其它几个人现在都很活跃，所以我也部会有立场做任何负面批评...


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zhangwz
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数学星空

我想谈谈过去五十年和我预测未来一百年的代数几何,我将一次次分开讨论,如果有兴趣
请支持:

1940-1965
代数几何在1900年以前,已经有了代数曲面的部分理论和代数曲线上的Riemann-Roch定
理,但是语言和概念处于一个混乱的状态. 在1950到1965年间 出现了三个巨大的革命.奠定
了代数几何的秩序 描述了重要 的问题,提供了未来发展的方向.

他们是 Hodge(加一堆人) 开创复几何, Kodaira 的三大工作 和 Grothendick 的抽象语
言及新定义(问题):

让我先讲第一项工作.

Hodge + Lefschetz + Kāehler 考虑了复流形的定义和一般的性质, Kaehler 引入了
Kaehler 度量,

Hodge 利用了分析中著名的"Elliptic regularity" 对Kaehler 流形的上同调群作了至
今仍然神秘的 Hodge 分解, 并且提出著名的 Hodge猜想, Lefschetz 证明了Hodge猜想的非
常特殊情形,并且证明了他的截面定理, 用以连结一平滑代数促和其截面的同掉群.
这是一连串故事的开始, 这个故事到现在,甚至以后一百年内 都不会结束.


Kodaira 的三大工作:

(1)Kodaira 证明了 当复流形上的 Kaehler form 的 上同调是有理的时候, 该负流形就可
以全纯嵌入 到 复射影空间之中. 而且也证明这是唯一的条件. 至今称为 Kodaira
embedding.
(2)Kodaira 把意大利学派对复曲面初步工作做了全面性地毯式的推广, 对复取面 利用
他的 "Kodaira dimension" 作了一个本质上的分类, 对分类中的几个大项都做了完全的讨
论,尤其是对
曲面作为 一个 over 曲线 的 fibration , 对其 sigular fiber (椭圆情形)作了分类,至
今称之为 Kodaira Classification.
(3)Kodaira 研究了复流形的变形理论,对一阶变形做了详细的了解. 将一阶变形表达为
切丛的第一阶上 同调群, 证明了至今称为 Kodaira Spencer 映射 的 存在性,

这三个工作,不论是哪一个 ..都是无比的巨大. 每一个工作都没有做完,但都做了开创性
的一步,也显现 了复曲面理论的三个主要观点: 做为射影空间的子簇,作为over一个更低维
度流形的 fibration, 作为其 他更好了解的复流形的变形.

配合 Chow 的工作, Kodaira 和 Chow 完全刻画那些可以做为射影空间子簇的复流形,知
道他们正是那些 用多项式在射影空间切出的子簇. 复几何从此成为代数几何的心腹(大患)

嵌入定里使用了 正曲率向量丛之上同调的消灭定理, 这个消灭定理对高维流形的分类起
了作用, 也引发 了后续的研究 比如寻找更强的消灭定理

对曲面的分类, 留下了 general surface 和他们的 moduli 问题, 其使用的
fibration 技术,成为人们

研究曲面和更高维流形的主要工具

变形理论被 Kuranishi 更一步拓展. 证明了有名的 Kuranishi Obstruction Theory
(障碍理论), 描述

复流形变形的障碍, 发现了 Kuranishi 映射, 成为理解曲面(或任何袋鼠几何研究对
象) 模空间局部图

形的刻画方法.其数论面被Nicolas Katz研究其 over Spec Z
的变形性质, 帮助了 Deligne 证明 Weil 猜想.

Kodaira 是神..

Grothendick

Grothendick, 是一个很难听的名字.如果你学过德文,你会知道 Grothen 是大的意
思,Dick是老二的意思

.所以合起来就是 这个人的名字很 Diaoˇ

他是真的很 Diao ˇ, 他伙同了一票同事和弟子, 建立了他的 Program of Scheme, 写
下了 EGA SGA 和

EGA, 就是代数几何初步,研习,和基础 的意思. 他又提出了 Etatle Theory, Topo 的概
念, Weil 猜想

的可能解法, 证明了他的 Grothendick Riemann Roch 公式

关于上述几个工作,我来讨论依下: Scheme (我想中国翻译成概形) 是研究代数簇一定会
要关心的对象,

主要有两个原因, 一是一个簇到另一个簇的映射,其fiber (一点 的原象)不一定是个
簇, 但一定是一个

"概形",另一个理由是在研究算术几何时, 要研究over 不是复数体的概形, 必须使用
scheme 的概念.

这只是一个简单的概念,基本上概形就是 由几个交换代数黏贴起来的图形, 所有的性质
都可以用交换代
数描述的.但是在使用Céch 上同调来讲sheaf的理论时,有特别得便利之处,另外在变形理
论中,复流形的

变形比scheme的变形难描述的多.

Etale cohomology 是 scheme/K 在K 不是复数时 的模拟于 singular cohomology 或
DeRam

cohomology 的东西.而 Etale homotopy 则是此情形的 homotopy. 两者都和 K 的算数
性很有关系, 是

模拟于拓扑理论但是实际上把 Gal(K_1/K), 包进去的概念, 其中K_1 是K的代数闭包.
这 Etale

cohomology 后来被 Deligne 拿来解决 Weil Conjecture 的伊部份, 其实很大程度是只
是表面的技术问

题, 但是想法是很突破性的: 把算术和几何做了一个很恰当的合并.

Topo 是很新的概念, 当时没有人注意, 但现在 对 (moduli) Stack (中文可能翻译为
堆积 ) 很有影响

当时是被拿来推广原来的"拓扑中的开集合", 用于定义 Etale cohomology 和
homotopy.

Grothendick 虽然做了很多重要的工作,对后人有很大的影响, 但在本人的看法中,他的
工作主要是语言

的建立, 除了很多技术性的部分之外 , 他的直觉并不是一种往常意义下的直觉, 而他是
显然崇尚于 "抽象化可以解决一切问题" 的数学家, 据我所知 有很多人学 EGA SGA 学到死
胡同里, 其实是他学派大部 分的后人都是如此,只有少数几个例外, 其实原因很简单,数学
不应该是以抽象的语言为本质, 抽象化是
数学的一大部分 ,但做为工具的成分多余作为研究的对象的成分, 就像 算子论, 纯代
数, 等等工具, 很快整个科目就会枯竭,留下的价值是,所有人都要学习之, 但并没有后续的
问题.

毕竟 数学真正的对象, 除了物理问题以外, 是 几何(拓扑) 与 数...

而方法..只因为研究的对象而重要....


1965-1980

这个时期得代数几何工作比较分散,很多结果都变成了启发后面1980-2000 年工作的具体
例子.主要是模

空间理论的出现而逐渐成熟: 这个时期的红人是 David Mumford ,单个较大的工作团来
自 Griffith 的

领导, 另外Daniel Quillen 作了非常抽象但在2005的今天逐渐揭示其重要性的工作:

(1) 特殊曲面模空间: Kulikov 和 Robert Friedman 完全刻画了K3曲面的 semistable
退化, Lefshetz

等人证明了K3 的 Torelli 定理, 其中也用到了这个时期 Kuranishi 发展的障碍理论,
非常具有其特殊

意义, 人们开始关心 模空间,

(2) 曲线模空间: Deligne 和 Mumford 制造了亏格数为g的曲线的模空间及其紧化, 在
其上计算了一些

重要的几何上同调的相交数. 引入了 Moduli Stack 的观念, 其中用了 Grothendick
Topo 的语言,

Artin 研究了抽象 Stack 的局部-全域 性质, Grothedick 的学生 Illusie 研究了 重
要的 Cotangent

Complex, 成为 stack 上一个酷毙的变形理论.

(3) 向量丛的模空间: 人们开始研究向量丛的模空间, Narasimhan 和 Seshadri 一系列
的工作研究了曲

在线向量丛模空间的制造和紧化, 研究他们的拓墣和几何性质. Atiyah - Bott 从微分
几何的方向来考 虑相同的问题, 对黎曼面上的向量丛模空间计算其Betti 数.是 Gauge (规
范) 理论 在
曲线上的经典之 作,
接下来我要讲这个时期中, David Mumford, Phillip Griffith, Daniel Quillen ,的工
作
(1)
Daniel Quillen: 因为和Thom 共同证明了有名的 Cobordism Theorem, 以及他开创了
Homotopic

Algebra, 定义了 Higher K theorem 和发现其和 Chow group of Scheme 的关系, 得到
Fields medal.

不同于 Grothedick, Quillen 的工作更具有数学上的价值, 他的homotopical algebra
至今仍是一个谜

, 但是越来越多的数学问题都指向了解这个谜是终极的方法, Higer K sheaf 的上同调
等于 Chow

group, 这个定理也是充满了神秘的面纱, 从 1980 到 2005 没有人开清楚其中的真正的
现象.


这次我想介绍一下 David Mumford 和 Phillip Griffith 的贡献和我对他们的个人意
见.

David Mumford 是一个奇才. 他有两个主要的工作:

(1) 发展了 Geometric Invariant Theorem, 也就是著名的几何不变量理论, 这个理论
研究,当有一个群

G 作用在一个簇 X 的时候, 怎么样正确的找出 X/G (称之为 Quotient by G) 上的
scheme 的结构.

这个问题听起来很简单, 如果只想做 X/G 上的拓墣或微分结构, 几句话就可以说完, 但
是想有一个簇

或是 解析结构, 就变的复杂, 这是代数几何研究 模空间的重要工具
几乎所有的模空间的制造都是这种 X/G 的形式. 比如说曲线的模空间, 一个簇里面的曲
线的模空间, 向

量丛的模空间, 霍奇结构的模空间, 等等等等等等等 模空间..

(2) 曲线和 Abelian Variety 的模空间的紧化问题: 模空间的紧化一直是备受关注的问
题, 人们想知道

几何对象的退化会变成什么样子, Mumford 研究了上述两种对象模空间的紧化, 并证明
了对任意几何物件退化的 " Semistable Degeneration" 定理, Mumford 也对 Abelien
Group Scheme
作了一些贡献 ,

对算术几何起了重大的影响.

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Phillip Griffith 相较之下 ,并没有这么杰出, 他也就只做了一系列有关霍奇猜想的工
作, 他带领了一

堆学生和工作伙伴, 对霍奇结构的变形理论,和霍奇结构退化时的理论,作了相当的贡
献, 他主要的动机

是想要研究 霍奇猜想和 Torelli 问题. 但是他 失败了 (ps: 霍奇猜想可看成是
torelli 的特例) 他

也因此离开了数学界, 留下了他的两个著名著作: (a) 和 Joe Harris 合写的
Principles in

Algebraic Geometry (b) 和他的团队合写的 Topic in Transcendal Geometry

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在1965-1980这个时期中 Pierre Deligne 还提出了他的 Mixed Hodege Structure, 也
就是混霍奇结构,

是不平滑的簇的霍奇结构. 另外Hironaka 也证明了 Resolution of Singularity 的大
定理 得到非尔兹

奖.
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作为此文的作者, 我想说依下我的个人观点, 虽然 Mumford 的工作比 Griffith 杰出,
但是我以为这只

是短暂的历史现象,Mumford 对他的学生非常恶劣.甚至盗取他的一位超强女学生的工
作, 相较之下

Griffith 就带领出一批学生和合作者,他虽然失败于一个不可能的任务:解决霍奇猜想,
但他的学生在下

一个时期中, 持续的在这个纲领上工作, 也取得重要的结果,一直到1996镜对称猜想出
现,代数几何界对

霍奇结构的重视突然飙高, 随着这些故事,Griffith 的精神永存.





1974-1992 这个时期, 是代数几何的一个黄金时期, 这个时期有三个大猜想被解决, 几
个分支先后出现,

能人辈出, 真说的上风起云涌:

解决的猜想:

(1) Weil 猜想: Weil 在50年代提出了一个猜想, 认为over Z 的一个簇的整数点的个数
隐藏了该簇的拓

扑性质, 这是一个令人震惊的猜想, 藉由几何对象连结了拓扑和算术, 这个猜想由
Pierre Deligne 解

决, 他用了 etale cohomology 的各种性质, 比如 Lefshetz 固定点公式, 另外Weil 将
整数点合在一起

写成一个生成函数, Deligne 证明了这个函数的黎曼猜想, 这些工作是 Grothendick
的 Etale theory,

甚至是代数几何, 开始受到数论学家重视的原因.

(2) Mordell 猜想: Mordell 在 20 年代提出了他的著名猜想: 说一个亏格大于等于2又
定义over Q 的

代数曲线, 只能有有限个有理数点. 这个猜想非常的简短漂亮, 人们知道亏格零的曲线
有有理数那么多

有理数点, 知道亏格一的曲线的有理数点形成一个有限生成交换群(这是Mordell 的定
理), 如果证明了

Mordell 猜想, 那就说明了曲线的有理数点结构决定其 Kodaira 维数.这又是一个联结
算数和几何的特

别猜想.

(Kodaira 维数是 Canonical bundle 的 section 的个数增长次数, 曲线有三个
Kodaira dimension,

亏格0 -> K.D=复无限大, 亏格1-> K.D.=0, 亏格大于董于二->K.D.=1)

这个猜想被 Gerd Faltings 解决, Faltings 据说是一个天生下来学习 Grothendick
语言的数学家, 他高中就把 Bourbaki的代数念完,大学把 EGA SGA 念完, 他证明
Mordell猜想的方法也

是利用 Abelian Variety 的理论, 这个人和 Pierre Deligne 是算数几何的宗师.

(3) Calabi 猜想: Calabi 提出他的著名猜想: 一个 Kaehler 形式可以调整为其Ricci
曲率为给定的形

式, 邱成桐证明了这个猜想, 也证明了 Kaehler Eisten 曲率的存在性, 在 K trivial
的时候就是著名

的 Calabi Yau 流形, 一维时是椭圆曲线, 二维是 K3 曲面或 Abelian 曲面,都只有一
种拓墣结构, 三

维以上就不依样 , 至少有数万种 Calabi Yau 流形有不同的拓墣, 随着物理的镜对称理
论和弦论,

Calabi Yau 流形变成了和 Eistein 四维时空流形(with Eistein 测度) 一样重要的物
理概念, 成为了

到现在20年内代数几何得重要研究对象. 这个代数几何和物理的连结, 某种意义上比前
两个猜想的解决

还要有意义.
(Yau 的结果虽然是微分几何的, 但对代数几何的应用非常多,也可能持续发现其应用,
比如说 P^2 上只

有一个 Kaehler 结构也可用此证明)


下次我将说到 Simon Donaldson, Maruyama+ David Gieseker, 和 Gromov 的工作, 虽
然第一个和第三 个不能算是代数几何学家, 但是在21世纪的今天, 他们的工作队代数几何
起了深重的影
响, 就如 邱成桐

的一样.



这次要介绍的是1980-1990中, 承先启后的数学家, Simon Donaldson, Maruyama+
David Gieseker, 和

Gromov :

先介绍 Gromov: Gromov 的主要工作是辛流形中仿全纯曲线的构造, 以及其模空间的紧
化, 这个工作和

代数曲线模空间的紧化有点类似, 但不同的是仿全纯曲线只需要给定辛流形上一个可行
的近复结构 ( an

compatible almost complex structure on the fixed symplectic manifold), 不需要
该近复结构是可

积的, Gromove 了解了这种曲线的"specialization", 也就是一连串这种曲线的极限曲
线, 有名的

Gromov Compactness (紧化) 和 Uhlenbeck 的紧化 (见 Donaldson) 并称齐驱, 后来
Ruan Youn Bin

和 Tian Gang 等人以此构造了数学上的 Gromov Witten 不变量 和所谓的量子上同调,
现在是辛几何的

主要研究方法. 这一工作对代数几何的重要性是很大的, 至少Kaehler 流形是 辛几何和
代数几何的交会

点, 这上面的 Gromov Witten 不变量(也就是 数数看流行中有几条访全纯曲线) 是代数
几何的一些古老

问题解决的终极手段( 所谓的 Enumerative Algebraic Geometry 早有一百多年历史,
只是一直没有系

统的理论来统合, Gromov Witten 理论是其中依个选择)

其次介绍 Maruyama, David Gieseker: 他们的工作是层的模空间的构造, 他们?#092;用
了 David

Mumford 的几何不变量理论(Geometric Invariant Theory) 考虑了一固定簇 X, 上面给
定其陈类(陈类

是簇的完全拓璞信息)的所有 的 半稳定 的 层. 这一个(半)稳定性 (semi-stability)
被称为

Gieseker (semi)stability. 这些层的搜集上面有一个天然的复结构,也就是(半)稳定层
的模空间的复结

构, 这个空间和所有稳定的映像 C->X 的模空间有相似之处,在 X唯一个点时就是曲线的
模空间(十年前

由Deligne + Mumford 构造)
Gieseker 还考虑了这种模空间的退化: 随着簇的退化,模空间当然也跟着退化
(degeneration), 这个退

化的手段这五年来慢慢成为代数几何的重要研究对象 (当然簇的退化已经有很多例子 ,
比如说 K3曲面,

或是代数曲线的退化)

最后讲 Simon Donaldson:

Donaldson 考虑四维流行上面某依个向量丛上面办自对偶的连络的模空间,再这个空间上
做一些天然同调

类的相交,得到了一串量并证明这是该四维流形的微分结构不变量. 在他之前 smale 证
明了大于四维的

流形的 Poincare 猜想(和球同伦必和球同胚), Freedman证明了四微的猜想, 当时最大
的拓扑问题还是

三维Poincare猜想,一直到最近才被 佩雷尔曼 先生解决, 但是人们对微分拓扑的
Poincare 猜想毫无了

解 ,也就是问如果流形是和球同胚是不是一定和球微分同胚. Donaldson 用上述的模空
间的方法构造了

四微微分流形的微分结构不变量,找出了一些拓扑流形上面不可能有任何微分结构, 找出
一个拓扑流形其

上有两个以上甚至无限多个 微分结构..这些微分结构的判定就是靠上述构造的相交数..
称为 Donalson

不变量,

当四维流形是代数曲面时, 这个模空间和该向量从上所有稳定的复结构的模空间是差不
多的,John

Morgan & 李骏证明可用向亮丛的模空间上的相交数算出一样的量, 这个情形就完全是
代数几何的范畴,

一直到现在都还是一个很不清晰的状态

后来有利用 Spin 结构造的 Seiberg Witten 不变量,比 Donaldson 的容易了解很多,
人们也开始比较

重视 Donaldson 不变量的代数几何面 ,因为其微分面很大部分已被 Seiberg Witten 取
代,但是 这个故

事还没有完. Donaldson 的几位弟子和他本人在下一个世纪中继续的对数学做出创造性
的贡献,..他的弟

子是 Richard Thomas, Paul Sedal 等人.

下次我们将讨论1990到2006...也就是到今天,接下来的介绍因为将会强烈受到作者个人
的研究和兴趣影

响,可能会很不很客观,请大家提出任何可能的意见来讨论,我将介绍

Maxim Kontsevich, Mori, David Morrison, Kenji Fukaya,Raoul
Pandharipande&Okounkov, Marc

Levine, Mark Gross, Kai Behrend, Li Jun, Richard Thomas(Donaldson 学派), 等
人... 主要的头头

是 Kontsevich 和 Mori. 但是其它几个人现在都很活跃, 所以我也不会有立场做任何负
面批评...