漂亮的数字串

王守恩

漂亮的数字串应该配漂亮的通项公式！！
征求通项公式。前 36 项是这样的：
02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09
11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25
28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49
53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81
86, 91, 96,101................
说明：
1，前后两项之间的差是7个1，8个2，8个3，8个4，8个5，........，8个n。
2，第8个数是9，第16个数是25，第24个数是49，.....第 8n 个数是平方数。

aimisiyou

$$a_{n}=n+1+[\frac{n-1}{8}]+[\frac{n-2}{8}]……[\frac{1}{8}]$$

王守恩

aimisiyou 发表于 2019-3-22 23:49
$$a_{n}=n+1+[\frac{n-1}{8}]+[\frac{n-2}{8}]……[\frac{1}{8}]$$

谢谢 aimisiyou！学习了！慢慢琢磨。我把砖抛出来。

\(a_n=\big((1+2\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)^2+\mod(n,8)\cdot\lceil\frac{n}{8}\rceil\big)\cdot\lceil\frac{\mod(n,8)}{8}\rceil+(1+2\lbrack\frac{n}{8}\rbrack)^2\cdot(1-\lceil\frac{\mod(n,8)}{8}\rceil)\)

王守恩

aimisiyou 发表于 2019-3-22 23:49
$$a_{n}=n+1+[\frac{n-1}{8}]+[\frac{n-2}{8}]……[\frac{1}{8}]$$

谢谢 aimisiyou！理解了一点！慢慢琢磨。是我把问题想复杂了，再抛砖。

\(a_n=(1+2\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)^2+(1+\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)(n-8\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)\)

王守恩

王守恩 发表于 2019-3-23 10:36
谢谢 aimisiyou！理解了一点！慢慢琢磨。是我把问题想复杂了，再抛砖。

\(a_n=(1+2\lfloor\frac{n}{ ...

还是抛砖，这平方数也是可以作减数的。

\(a_n=n(1+\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)+2-(1+2\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)^2\)

northwolves

$1+(1+\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)(n-4\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)$

王守恩

aimisiyou 发表于 2019-3-22 23:49
$$a_{n}=n+1+[\frac{n-1}{8}]+[\frac{n-2}{8}]……[\frac{1}{8}]$$

谢谢各位大侠！下面的数字串还可以有通项公式吗？
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07,
01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08,
02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09,
03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10,
04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11,
05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, 12,
06, 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13,
07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14,
08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
..........................

aimisiyou

王守恩 发表于 2019-3-24 17:38
谢谢各位大侠！下面的数字串还可以有通项公式吗？
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07,
01, 02, 03, 04, ...

看成是n行8列的矩阵（行列均从1开始）。a(i,j)=(i-1)+(j-1)=i+j-2

王守恩

aimisiyou 发表于 2019-3-24 18:15
看成是n行8列的矩阵（行列均从1开始）。a(i,j)=(i-1)+(j-1)=i+j-2

谢谢 aimisiyou！茅塞顿开！还可用此法倒推回6楼。

8楼：\(a_n=(行)+(列)=\mod(n,8)+(\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)\)

6楼：\(a_n=(行)\times(列)=(n-4\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)\times(1+\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)+1\)

王守恩

northwolves 发表于 2019-3-24 00:13
$1+(1+\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)(n-4\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)$

谢谢 northwolves ！这也是一颗 “漂亮的数字串”！
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 125, 216,
343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2401, 4096, 6561, 10000,
14641, 20736, 28561, 38416, 59049, 100000,..........


\(a_n=(1+n-6\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)^{(1+\lfloor\frac{n}{8}\rfloor)}\)