绳子固定在杆上旋转的曲线问题

markfang2050

绳子固定在杆上旋转的曲线问题

wayne

不是悬链线么

kastin

直觉上来看，不一定能稳定下来。如果角速度足够大，使得重力加速度相比下来非常小，从而使得绳子张力与离心力形成准平衡。此外，这个中间过程还跟初始时刻绳子的摆放位置形状和速度等相关（比如，若刚开始身子自然下垂静止，那么旋转起来时，绳子必然贴着棍子形成螺旋线，随着角速度增大，末端开始飞离壁面，逐渐蔓延到整个绳子）。当然，也许存在一个非常特殊的初始条件，恰好形成了平衡，绳子形状不再变化，那么这个时候的绳子形状就已经根据初始条件而确定了。

mathematica

做实验观察吧

风云剑

题目已经说了稳定状态下求解，那就不管怎么稳定下来的，反正最后就是重力和张力的合力提供了向心加速度。
但怎么求解我也不会。

倪举鹏

合力与张力决定曲率NDSolve[{2 (4 (-2 + x) (y^\[Prime]\[Prime])[x]^2 +
      Derivative[1][y][x]^2 (6 (-2 + x) (y^\[Prime]\[Prime])[x]^2 - 5
\!\(\*SuperscriptBox[\(y\),
TagBox[
RowBox[{"(", "3", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]) - 5
\!\(\*SuperscriptBox[\(y\),
TagBox[
RowBox[{"(", "3", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x] +
      Derivative[1][y][
        x] (2 (y^\[Prime]\[Prime])[x] + 5 (y^\[Prime]\[Prime])[x]^2 -
         2 (-2 + x)
\!\(\*SuperscriptBox[\(y\),
TagBox[
RowBox[{"(", "3", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]) +
      2 Derivative[1][y][x]^3 ((y^\[Prime]\[Prime])[x] - (-2 + x)
\!\(\*SuperscriptBox[\(y\),
TagBox[
RowBox[{"(", "3", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])) == 0, y[0] == 0, y'[0] == 1.24,
  y''[0] == 0.01}, y, {x, 0, 2}]

倪举鹏

重力10，角速度2
棍子粗0，棍子粗度不影响曲线，假设曲线固定在棍子中心

kastin

除了J A Hanna 2013 J. Phys. A: Math. Theor. 46 235201这篇，之前也有一些研究，比如
Kolodner, I. I. (1955). Heavy rotating string—a nonlinear eigenvalue problem. Communications on Pure and Applied Mathematics, 8(3), 395–408.
COOMER, J., LAZARUS, M., TUCKER, R. W., KERSHAW, D., & TEGMAN, A. (2001). A NON-LINEAR EIGENVALUE PROBLEM ASSOCIATED WITH INEXTENSIBLE WHIRLING STRINGS. Journal of Sound and Vibration, 239(5), 969–982.

数学上，这个问题的解是一个非线性偏微分方程（波动方程）组\[\rho\frac{\partial^2 \boldsymbol r}{\partial t^2}=\rho \boldsymbol g+\frac{\partial}{\partial s}\left(T\frac{\partial \boldsymbol r}{\partial s}\right),\\\boldsymbol g=(0,0,g),\quad\boldsymbol r=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),\quad T=T(s,t)\]满足旋转稳定条件\[x(s,t)=\xi_0(s)\cos \omega t,\quad y=\xi_0(s)\sin \omega t,\quad z(s,t)=z(s),\quad T(s,t)=T(s)\]以及边界条件\[x(0,t)=x_0,\quad y(0,t)=y_0,\quad z(0,t)=0,\quad T(l,t)=0\]的解（其中l为绳长，T为张力，s为沿着绳子方向的长度）。
但该方程无法求出解析表达式。通过方程分析可知，绳子的形状根角速度的大小、重力加速度、绳长、绳子密度有关，当然，如果初始条件变化，结果也会不同。
为了方便研究，可以进行不同的假设，得到特殊结果。比如，假设曲线在同一旋转平面内(x或y为常数)，或者假设位于一个柱面内（`\xi_0(s)`为常数），或者假设角速度足够大绳子足够长（从而重力加速度相对很小），或者密度非常大等。