与三角形的内切圆和旁切圆均相切的圆

陈九章

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应该是的。
问题：
与三角形三个旁切圆均相切的另一个圆在哪里？
有什么特殊性质？

hujunhua

另一个？还有七个呢！您要一个个深究么

我知道您说的是与三个旁切圆都内切的那个，这个可能是与众不同一些，它与九点圆成双成对。
我说的成双成对是基于一个特定的圆反演：其基圆与三个旁切圆均正交者。
三个旁切圆都是该反演下的不变曲线，因此内切圆的反演像正是同时与三个旁切圆内切的圆。
三个旁切圆的其它6个均切圆在反演下两两结成3个源-像对。

PS：该基圆的圆心就是三个旁切圆的等轴中心（又叫根心） 。

陈九章

比如：半径，圆心与其他特殊点的位置关系。

陈九章

谢谢胡老师的赐教！

陈九章

补充内容 (2024-3-13 16:05):
上列半径公式有误。

陈九章

hujunhua

3#所说的那个等轴中心（根心），好像与重心、内心三点共线。
并且，重心是根心和内心连线的三等分点（靠近根心）。

重心不是外心和垂心连线的三等分点吗？

似曾相识燕归来。

hujunhua

我犯了个错误。

3#说除了九点圆，剩下还有7个与仨旁切圆同时相切的圆。
        这是忽视了仨旁切圆的特殊位置关系——存在三条仨圆公切线，即三角形的三边所在直线的结果。这三条仨圆公切线即6#中所说的“3（二内圆）”。所以，当我们不把直线当作无穷大圆时，“除了九点圆，就只剩下4 个与仨旁切圆同时相切的圆”，即6# 所说的“1（三内圆）＋3（二外圆）＂。

        由于3（二内圆）与 3（二外圆）具有3# 所说的两两对应结成圆反演的源-像对的关系，既然3（二内圆）退化为直线，那么3（二外圆）必然皆过反演中心。于是我们得到一个漂亮的结论：
        3（二外圆）皆过仨旁切圆的根心。
本来，大家只关注1（三内圆）与1（三外圆）的，因为其中任何一个皆独具3阶对称性，忽视了 3（二外圆）这个整体构成的3阶对称性，并隐藏了一个这么特别的性质。

        “3（二内圆）与 3（二外圆）两两对应结成圆反演的源-像对” 这一事实立即导致 3（二外圆）的一个简便作图：1、作3（二内圆）之一，即三角形的一条边与仨旁切圆切点的反演像（连接根心与一个切点，连线与该旁切圆的另一个交点即是），2、作过仨像点的三点圆即得对应的 3（二外圆）之一。
        附两圆根轴的作图方法：根轴过两圆公切线的中点，取两条公切线中点的连线即得根轴。
然后作两条根轴，取交点即得根心。

hujunhua