三次方程其根进行变换后根所满足的方程

葡萄糖

已知带参数的三次方程 \(x^3+t\cdot x+1=0\) 有三个根`x_1, x_2, x_3`，
对3根进行变换`y_i=x_i^2+x_i+1`，
求`y_i`满足的极小多项式。

是否有类似于如下情形的解法呢？
【相对简单的版本】原始方程\(x^2+t\cdot x+1=0\)而变换\(y_i=x_i^2+x_i+1\)
\(\begin{align*}
x_{\overset{\,}{1,2}}&=\dfrac{-t\pm\sqrt{t^2-4}}{2}\\
y_{\overset{\,}{1,2}}&=\dfrac{-(t-1)t\pm(t-1)\sqrt{t^2-4}}{2}
\end{align*}\)
当原始方程为一元二次方程\(\,x^2+t\cdot\,\!x+1=0\,\)时，解出根后代入变换，然后将变换后的结果分到等号两边。
一部分为有理数的部分，一部分为无理数的部分，两边同时平方，从而得到结果。
\(\begin{align*}
y_{\overset{\,}{1,2}}+\dfrac{(t-1)t}{2}&=\dfrac{\pm(t-1)\sqrt{t^2-4}}{2}\\
\left(y_{\overset{\,}{1,2}}+\dfrac{(t-1)t}{2}\right)^2&=\dfrac{(t-1)^2(t^2-4)}{4}
\end{align*}\)

无心人

三次方程可以分解成实系数的一次方程和二次方程的乘积

mathe

(08:28) gp > y=x^2+x+1
%1 = x^2 + x + 1
(08:28) gp > Mod(y,x^3+t*x+1)^2
%2 = Mod((-t + 3)*x^2 + (-2*t + 1)*x - 1, x^3 + t*x + 1)
(08:28) gp > Mod(y,x^3+t*x+1)^3
%3 = Mod((t^2 - 6*t + 3)*x^2 + (3*t^2 - 5*t - 3)*x + (3*t - 5), x^3 + t*x + 1)
(08:28) gp > [0,0,1;1,1,1;(-t+3),(-2*t+1),-1;(t^2 - 6*t + 3),(3*t^2 - 5*t - 3),(3*t - 5)]
%4 =
[            0               0       1]

[            1               1       1]

[       -t + 3        -2*t + 1      -1]

[t^2 - 6*t + 3 3*t^2 - 5*t - 3 3*t - 5]

(08:31) gp > %4~
%5 =
[0 1   -t + 3   t^2 - 6*t + 3]

[0 1 -2*t + 1 3*t^2 - 5*t - 3]

[1 1       -1         3*t - 5]

(08:31) gp > matker(%5)
%6 =
[-t^2 + 2*t - 4]

[ t^2 - 3*t + 6]

[       2*t - 3]

[             1]

(08:31) gp > y^3+(2*t-3)*y^2+(t^2 - 3*t + 6)*y+(-t^2 + 2*t - 4)
%7 = x^6 + 3*x^5 + (2*t + 3)*x^4 + (4*t + 1)*x^3 + (t^2 + 3*t + 3)*x^2 + (t^2 + t + 3)*x + t
(08:32) gp > polroots(x^3+2*x+1)
%8 = [-0.45339765151640376764474653900019218887 + 0.E-38*I, 0.22669882575820188382237326950009609443 - 1.4677115087102242702017782875332674014*I, 0.22669882575820188382237326950009609443 + 1.4677115087102242702017782875332674014*I]~
(08:32) gp > kill(y);
(08:32) gp > y^3+(2*t-3)*y^2+(t^2 - 3*t + 6)*y+(-t^2 + 2*t - 4)
%10 = (y - 1)*t^2 + (2*y^2 - 3*y + 2)*t + (y^3 - 3*y^2 + 6*y - 4)
(08:32) gp > subst(%,t,2)
%11 = y^3 + y^2 + 4*y - 4
(08:32) gp > polroots(%11)
%12 = [0.75217177888418654405728207878363123751 + 0.E-38*I, -0.87608588944209327202864103939181561876 - 2.1331684598630377469079688991623451133*I, -0.87608588944209327202864103939181561876 + 2.1331684598630377469079688991623451133*I]~
(08:33) gp > %8[1]^2+%8[1]+1
%13 = 0.75217177888418654405728207878363123751 + 0.E-38*I
(08:33) gp > %8[2]^2+%8[2]+1
%14 = -0.87608588944209327202864103939181561877 - 2.1331684598630377469079688991623451133*I
(08:33) gp > %8[3]^2+%8[3]+1
%15 = -0.87608588944209327202864103939181561877 + 2.1331684598630377469079688991623451133*I

wayne

1. f[x_]:=x^2+x+1;
   
2. src=x^3+t x+1;
   
3. 
   
4. n=3;
   
5. param=p/@Range[n];
   
6. ans=Table[SymmetricReduction[SymmetricPolynomial[m,f/@param],param,Subscript[s,#]&/@Range[n]],{m,0,n}];
   
7. Collect[Sum[(-1)^i y^(n-i)ans[[i+1,1]],{i,0,n}]/.Table[Subscript[s,i]->(-1)^i Coefficient[src,x,n-i],{i,n}],y,Factor]

复制代码

跟mathe的答案是一样的,
\[-4 + 2 t - t^2 + (6 - 3 t + t^2) y + (-3 + 2 t) y^2 + y^3\]

lsr314

$x^3 + t x + 1 =0$
$y = x^2 + x + 1$
$y (x - 1) = x^3 - 1 = -t x - 2$
$x = (y - 2)/(y + t)$
代入,分解：

1. Factor[((y - 2)/(y + t))^3 + t (y - 2)/(y + t) + 1]

复制代码

得$((2 + t) (-4 + 2 t - t^2 + 6 y - 3 t y + t^2 y - 3 y^2 + 2 t y^2 +    y^3))/(t + y)^3=0$
即$-4 + 2 t - t^2 + 6 y - 3 t y + t^2 y - 3 y^2 + 2 t y^2 + y^3=0$

葡萄糖

wayne 发表于 2019-11-7 08:46
跟mathe的答案是一样的,
\[-4 + 2 t - t^2 + (6 - 3 t + t^2) y + (-3 + 2 t) y^2 + y^3\]

谢谢大家，现在是对答案时间！
恭喜楼上的各位都算对了！
(t + y)^2 (y - 1) = (y - 2) (t + 2y - 2)
\[ \left(t+ y\right)^2\left(y-1\right)=\left(y-2\right)\left(t+2y-2\right) \]
可是，不明白为什么可以写成这么奇怪的形式？但是看起来又很简洁……
这个答案和Isr314的结果的一部分有点像？

如下为MMA验证代码

1. Collect[(t + y)^2 (y - 1) - (y - 2) (t + 2 y - 2), y]
   
2. Resultant[x^3 + t*x + 1, y - x^2 - x - 1, x]

复制代码

...
\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
x^3+t\cdot\,\!x+1=0\\
x^2+x+1=y
\end{split}\right.\quad
\Longleftrightarrow\quad\\
\\
\left(t+ y\right)^2\left(y-1\right)=\left(y-2\right)\left(t+2y-2\right)
\end{align*}

葡萄糖

更一般化：
\begin{gather*}
\left\{
\begin{split}
x^3+p\,\!x+q=0\\
x^2+rx+s=0
\end{split}\right.\\
\\
\Updownarrow\quad\\
\\
\left(p+r^2-s\right)^2s=\left(q+rs\right)\left(pr-q+r^3-2rs\right)
\end{gather*}