如何使得角度最大？

mathematica

给定一条直线l，
直线外同一侧有两点A、B
AB与直线l不垂直，
直线l上有一点P，如何使得∠APB最大？
最大的时候满足什么条件？

倪举鹏

过AB的圆与直线相切的切点

mathematica

倪举鹏 发表于 2019-12-31 09:13
过AB的圆与直线相切的切点

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*两个点,一个是(a,b),一个是(c,d),假设直线是x轴*)
   
3. a=1
   
4. b=2
   
5. c=3
   
6. d=4
   
7. (*计算出两条直线的斜率*)
   
8. y1=(d-0)/(c-x)
   
9. y2=(b-0)/(a-x)
   
10. (*计算出两条直线的夹角的斜率,可能是负数*)
    
11. k=(y1-y2)/(1+y1*y2)//FullSimplify
    
12. (*画出夹角(弧度制)*)
    
13. Plot[ArcTan[Abs[k]],{x,-20,20}]
    

复制代码

Clear["Global`*"];
(*两个点,一个是(a,b),一个是(c,d),假设直线是x轴*)
a=1
b=2
c=3
d=4
(*计算出两条直线的斜率*)
y1=(d-0)/(c-x)
y2=(b-0)/(a-x)
(*计算出两条直线的夹角的斜率,可能是负数*)
k=(y1-y2)/(1+y1*y2)//FullSimplify
(*画出夹角(弧度制)*)
Plot[ArcTan[Abs[k]],{x,-20,20}]

根据画出的图形,可以知道这个图形有两个极值点,
右边的那个极值点的几何意义表示圆与直线相切,

那么左边的那个极值点有没有几何意义呢?
如果有,它的几何意义是什么?
对于
A(1,2),B(3,4)这两点
求出来两个数是
{{x -> -5}, {x -> 3}}
右边表示相切,左边表示什么呢?

mathematica

mathematica 发表于 2019-12-31 09:21
Clear["Global`*"];
(*两个点,一个是(a,b),一个是(c,d),假设直线是x轴*)
a=1

1. Clear["Global`*"];
   
2. a=1
   
3. b=2
   
4. c=3
   
5. d=4
   
6. f[x_,y_]=(x-x1)^2+(y-y1)^2-y1^2
   
7. Solve[f[a,b]==0&&f[c,d]==0,{x1,y1}]//FullSimplify
   

复制代码

Clear["Global`*"];
a=1
b=2
c=3
d=4
f[x_,y_]=(x-x1)^2+(y-y1)^2-y1^2
Solve[f[a,b]==0&&f[c,d]==0,{x1,y1}]//FullSimplify

得到结果
{{x1 -> -5, y1 -> 10}, {x1 -> 3, y1 -> 2}}
好像都是相切的点，但是相切的点为什么是两个呢？


补充内容 (2020-1-9 09:30):
不给abcd赋值，那么求解结果是\[\left\{\left\{\text{x1}\to -\frac{\sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}+a d-b c}{b-d},\text{y1}\to \frac{b \left((a-c)^2-d^2\right)+2 a \sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)...

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*两个点,一个是(a,b),一个是(c,d),假设直线是x轴*)
   
3. (*计算出两条直线的斜率*)
   
4. y1=(d-0)/(c-x)
   
5. y2=(b-0)/(a-x)
   
6. (*计算出两条直线的夹角的斜率,可能是负数*)
   
7. k=(y1-y2)/(1+y1*y2)//FullSimplify
   
8. (*求导数,求驻点*)
   
9. kx=D[k,{x}]//FullSimplify
   
10. out=Solve[kx==0,{x}]//FullSimplify
    

复制代码

夹角的正切值
\[\frac{d (a-x)+b (x-c)}{-x (a+c)+a c+b d+x^2}\]

正切值的导数
\[\frac{d (a-x)^2+b^2 d-b \left((c-x)^2+d^2\right)}{\left(-x (a+c)+a c+b d+x^2\right)^2}\]

极值点
\[\left\{\left\{x\to -\frac{\sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}+a d-b c}{b-d}\right\},\left\{x\to \frac{\sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}-a d+b c}{b-d}\right\}\right\}\]

sheng_jianguo

mathematica 发表于 2020-1-2 09:48
夹角的正切值
\[\frac{d (a-x)+b (x-c)}{-x (a+c)+a c+b d+x^2}\]

本问题很有意思，看似不难，但A、B、P点分布情况情况较多，要分析清楚并得出正确简明结果是不容易的。
假定直线l为x轴，A、B两点的坐标分别为(a,b)、(c,d)，按条件，a、b、c、d只要满足b*d＞0（在一侧）及|a-c|+|b-d|＞0（两个点）就可以了。AB与x轴垂直时不影响分析讨论（故可不加这条件）。
你的解答思路正确，最大∠APB的P点位置确在经过A、B两点并与x轴相切的园的切点中。但有两点没有说明清楚（或计算有误）：
1. 夹角∠APB计算
假定y1、y2分别是夹角两直线的斜率，则夹角∠APB不一定等于|ArcTan(y1)-ArcTan(y2)|，如点P的x坐标在A、B两点的x坐标之间，则∠APB=π-ArcTan(|y1|)-ArcTan(|y2|)（弧度）。即使∠APB=ArcTan(y1)-ArcTan(y2)成立，∠APB=ArcTan((y1-y2)/(1+y1*y2))也不一定成立（ArcTan(y1)-ArcTan(y2)详细计算公式可参见数学手册）
仔细分析后，夹角∠APB计算公式为：
当y1*y2在开区间(-1,0)中时，∠APB=π-ArcTan(|(y1-y2)/(1+y1*y2)|)（弧度）。
当y1*y2不在开区间(-1,0)中时，∠APB= ArcTan(|(y1-y2)/(1+y1*y2)|)（弧度）。
注：当y1*y2=-1时∠APB=π。当y1=∞或y2=∞（即斜率计算时分母为0）时，∠APB可通过附近点计算值求极限得到。
下图显示：当a=1、b=2、c=10、d=4时，如果夹角都按∠APB= ArcTan(|(y1-y2)/(1+y1*y2)|)计算，P点x坐标与夹角∠APB（角度）之间的关系

显然，对这种情况，按∠APB= ArcTan(|(y1-y2)/(1+y1*y2)|)计算的结果是不对的（最大值不会大于90°），两个最大值都不是最大夹角。实际上对这种情况，最大夹角约等于114.8°（P点x坐标约等于5.04）。
2. 最大夹角时，P点x坐标xj的计算
假设x1、x2是你计算出的两个极值点的x坐标（第一个（左边）为x1，第二个（右边）为x2），x3=(a+c)/2
xj不一定等于x1或x2。经仔细分析，xj计算方法如下：
若b=d，正切值的导数为一元一次方程，解得xj=x3。(说明这种情况只有1个切点)
若b≠d，正切值的导数为一元二次方程 (说明这种情况有2个切点) 则
当a=c时，xj=x1或xj=x2(说明这种情况有2个最大值点)
当a≠c时，b/(a-c)＜0时xj=x1； b/(a-c)＞0时xj=x2。
有了xj，按上述计算夹角∠APB方法，就可以得出最大夹角了。

以上是我分析计算结果，不知是否还有更简明的正确结果。

mathematica

sheng_jianguo 发表于 2020-1-8 16:52
本问题很有意思，看似不难，但A、B、P点分布情况情况较多，要分析清楚并得出正确简明结果是不容易的。
...

tan∠APB的绝对值，必然等于(y1-y2)/(1+y1*y2)的绝对值呀
求∠APB的极值，也就是求tan∠APB（排除90°的情况），
也就是求(y1-y2)/(1+y1*y2)的极值呀，
如果反求角度的话，是有问题的，但是求极值的话，我感觉没问题。

不过你可以用余弦函数来求解角度，这肯定没问题
对于(1,2)(10,4)
求解结果如下：

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*两个点,一个是(a,b),一个是(c,d),假设直线是x轴*)
   
3. a=1
   
4. b=2
   
5. c=10
   
6. d=4
   
7. (*求出两个矢量*)
   
8. v1={a-x,b-0}
   
9. v2={c-x,d-0}
   
10. (*计算出两个矢量的夹角的余弦值*)
    
11. alpha=Dot[v1,v2]/(Norm[v1]*Norm[v2])//FullSimplify
    
12. Plot[ArcCos[alpha]*180/Pi,{x,-20,20},PlotRange->All]
    

复制代码

mathematica

sheng_jianguo 发表于 2020-1-8 16:52
本问题很有意思，看似不难，但A、B、P点分布情况情况较多，要分析清楚并得出正确简明结果是不容易的。
...

我觉得我在五楼的回答，已经把你的所有的讨论的情况给包含了，
就是两个极值点，但是有一个问题，
当a=c的时候，似乎有三个极值点，
当x=a=c的时候有一个最小值，零度，这个是最小极值。

mathematica

sheng_jianguo 发表于 2020-1-8 16:52
本问题很有意思，看似不难，但A、B、P点分布情况情况较多，要分析清楚并得出正确简明结果是不容易的。
...

现在来阐明一下五楼的表达式的几何意义！

\[\left\{\left\{x_1\to -\frac{\sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}+a d-b c}{b-d}\right\},\left\{x_2\to \frac{\sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}-a d+b c}{b-d}\right\}\right\}\]

假设这两点是P1 P2

假设b不等于d，那么AB两点必然与直线有交点，假设为M，则M点的坐标是$(\frac{b c-a d}{b-d},0)$
很显然M是P1P2的中点，
还有表达式有明显的几何意义，
$\frac{\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}}{b-d}$这个表示∠AMP的正弦的倒数，
由切割线定理可知道
MP1^2=MP2^2=AM*BM,
$\frac{\sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}}{b-d}$这个表达式的绝对值，就是求MP1=MP2

只要AB与直线有交点，那么就有三个极值点，分别是P1 M P2，其中M是平凡的极值点，对应角度等于零，
如果b=d，那么圆心在AB的中垂线上，只有一个极值点。

mathematica

mathematica 发表于 2019-12-31 10:01
Clear["Global`*"];
a=1
b=2

不给五楼的abcd赋值，那么求解结果是
\[\left\{\left\{\text{x1}\to -\frac{\sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}+a d-b c}{b-d},\text{y1}\to \frac{b \left((a-c)^2-d^2\right)+2 a \sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}-2 c \sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}+d (a-c)^2+b^3-b^2 d+d^3}{2 (b-d)^2}\right\},\left\{\text{x1}\to \frac{\sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}-a d+b c}{b-d},\text{y1}\to \frac{b \left((a-c)^2-d^2\right)-2 a \sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}+2 c \sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}+d (a-c)^2+b^3-b^2 d+d^3}{2 (b-d)^2}\right\}\right\}\]