残缺的幻方填空谜题

dlpg070

王守恩 发表于 2020-2-15 08:26
能说下面的题是无解的吗？

+----+----+----+----+      

4阶幻方的性质
如有笔误，请指出
为了引用方便，补充了原来省略的(1)---(10)

4阶幻方的性质

根据4阶普通幻方定义，有：
a11+a12+a13+a14=34 第1行      (1)
a21+a22+a23+a24=34 第2行      (2)
a31+a32+a33+a34=34 第3行      (3)
a41+a42+a43+a44=34 第4行      (4)
a11+a21+a31+a41=34 第1列      (5)
a12+a22+a32+a42=34 第2列      (6)
a13+a31+a33+a43=34 第3列      (7)
a14+a24+a34+a44=34 第4列      (8)
a11+a22+a33+a44=34 左上右下   (9)
a14+a23+a32+a41=34 右上左下   (10)

用穷举法证明了：
对任意的4阶普通幻方(1---16):
除了必须的10个和为34以外，还有：(可由1---10推导，穷举验证)
1 a11+a14+a41+a44=34 4角4点      (11)
2 a22+a23+a32+a33=34 中心4点     (12)
3 a12+a13+a42+a43=34 中间2列4点  (13)
4 a21+a31+a24+a34=34 中间2行4点  (14)
另外
对于丢勒幻方，还有
1 a11+a12+a21+a22=34 左上2x2     (15)
2 a13+a14+a23+a24=34 右上2x2     (16)
3 a31+a32+a41+a42=34 左下2x2     (17)
4 a33+a34+a43+a44=34 右下2x2     (18)


利用公式(11)---(14)，生成幻方将更容易
这些证明，目的是为手工解1#铺平道路

王守恩

王守恩 发表于 2020-2-14 15:03
+-----+-----+------+-----+      
| a11 |  15  |  14  | a14 |      
+-----+-----+------+-----+  ...

+-----+-----+------+-----+      
| a11 |  15  |  14  | a14 |      
+-----+-----+------+-----+      
| a21 | a22 | a23 | a24 |      
+-----+-----+-----+------+      
| a31 | a32 | a33 | a34 |     
+-----+-----+-----+------+      
| a41 | a42 | a43 | a44 |      
+-----+-----+-----+------+
a11可以有 1, 2, 3, 4(同时4,3,2,1只能填在a14) 四种填法。
1, 2, 3, 4填好后，1,4对应的2,3、2,3对应的1,4 只能填在a42,a43(其他位置无法填)，
a42,a43填2,3、1,4后，a41,a44只能填13,16，
共计4×2×2=16种可能。对这16种可能分析如下。
01，a11=1,a14=4，a42=2,a43=3，a41=13,a44=16：无解(1+a22+a33+16=15+a22+a32+2)。
02，a11=1,a14=4，a42=2,a43=3，a41=16,a44=13：有解01——08
03，a11=1,a14=4，a42=3,a43=2，a41=13,a44=16：有解09——10
04，a11=1,a14=4，a42=3,a43=2，a41=16,a44=13：无解
05，a11=2,a14=3，a42=1,a43=4，a41=13,a44=16：无解(2+a22+a33+16=14+a23+a33+4)。
06，a11=2,a14=3，a42=1,a43=4，a41=16,a44=13：有解11——14
07，a11=2,a14=3，a42=4,a43=1，a41=13,a44=16：有解15——16
08，a11=2,a14=3，a42=4,a43=1，a41=16,a44=13：无解(2+a22+a33+13=14+a23+a33+1)。
09，a11=3,a14=2，a42=1,a43=4，a41=13,a44=16：有解17——20
10，a11=3,a14=2，a42=1,a43=4，a41=16,a44=13：无解(3+a22+a33+13=15+a22+a32+1)。
11，a11=3,a14=2，a42=4,a43=1，a41=13,a44=16：无解(3+a22+a33+16=15+a22+a32+4)。
12，a11=3,a14=2，a42=4,a43=1，a41=16,a44=13：有解21——22
13，a11=4,a14=1，a42=2,a43=3，a41=13,a44=16：无解
14，a11=4,a14=1，a42=2,a43=3，a41=16,a44=13：无解(4+a22+a33+13=15+a22+a32+2)。
15，a11=4,a14=1，a42=3,a43=2，a41=13,a44=16：有解23——30
16，a11=4,a14=1，a42=3,a43=2，a41=16,a44=13：有解31——32
结果如下。
01，1+4+2+3+16+13+08+09+12+05+10+07+06+11
02，1+4+2+3+16+13+08+09+12+05+11+06+07+10
03，1+4+2+3+16+13+09+08+11+06+07+10+05+12
04，1+4+2+3+16+13+09+08+11+06+12+05+10+07
05，1+4+2+3+16+13+11+06+09+08+05+12+07+10
06，1+4+2+3+16+13+11+06+09+08+10+07+12+05
07，1+4+2+3+16+13+12+05+08+09+06+11+10+07
08，1+4+2+3+16+13+12+05+08+09+07+10+11+06
09，1+4+3+2+13+16+06+10+11+07+12+08+05+09
10，1+4+3+2+13+16+10+06+07+11+08+12+09+05
11，2+3+1+4+16+13+08+10+11+05+09+07+06+12
12，2+3+1+4+16+13+10+08+09+07+05+11+06+12
13，2+3+1+4+16+13+10+08+09+07+11+05+12+06
14，2+3+1+4+16+13+12+06+07+09+05+11+10+08
15，2+3+4+1+13+16+05+10+11+08+12+07+06+09
16，2+3+4+1+13+16+09+06+07+12+08+11+10+05
17，3+2+1+4+13+16+06+12+09+07+10+08+05+11
18，3+2+1+4+13+16+08+10+07+09+06+12+05+11
19，3+2+1+4+13+16+08+10+07+09+12+06+11+05
20，3+2+1+4+13+16+10+08+05+11+06+12+09+07
21，3+2+4+1+16+13+06+09+12+07+10+05+08+11
22，3+2+4+1+16+13+10+05+08+11+06+09+12+07
23，4+1+2+3+13+16+05+12+09+08+10+07+06+11
24，4+1+2+3+13+16+05+12+09+08+11+06+07+10
25，4+1+2+3+13+16+06+11+08+09+07+10+05+12
26，4+1+2+3+13+16+06+11+08+09+12+05+10+07
27，4+1+2+3+13+16+08+09+06+11+05+12+07+10
28，4+1+2+3+13+16+08+09+06+11+10+07+12+05
29，4+1+2+3+13+16+09+08+05+12+06+11+10+07
30，4+1+2+3+13+16+09+08+05+12+07+10+11+06
31，4+1+3+2+16+13+06+10+11+07+09+05+08+12
32，4+1+3+2+16+13+10+06+07+11+05+09+12+08
上述14个数表示
a11+a14+a42+a43+a41+a44+a22+a32+a33+a23+a21+a31+a34+a24

王守恩

王守恩 发表于 2020-2-15 08:26
能说下面的题是无解的吗？

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这2道题的答案是一样的吗？软件我还是不会用。
第 1 道题
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|      |      |      |     |      
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|  5  |  10 | 11 |  8  |      
+----+----+----+----+      
|      |      |      |     |     
+----+----+----+----+      
|      |      |      |     |      
+----+----+----+----+
第 2 道题
+----+----+----+----+      
|      |      |      |     |      
+----+----+----+----+      
| 12  |  7  |  6  |  9  |      
+----+----+----+----+      
|      |      |      |     |     
+----+----+----+----+      
|      |      |      |     |      
+----+----+----+----+
今天是2月15日
+----+----+----+----+      
|      |      |      |     |      
+----+----+----+----+      
|      |  2  | 15  |     |      
+----+----+----+----+      
|      |      |      |     |     
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|      |      |      |     |      
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王守恩

王守恩 发表于 2020-2-13 11:16
能说下面的题是无解的吗？

+----+----+----+----+      

能说下面的题是无解的吗？

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|a11 |   1  |  2  |a14|      
+----+----+----+----+      
|a21 |a22 |a23 |a24|      
+----+----+----+----+      
|a31 |a32 |a33 |a34|     
+----+----+----+----+      
|a41 |a42 |a43 |a44|      
+----+----+----+----+
1，a11,a14=15,16(跟着走)
2，a42,a43=13,14(只能填这里)
3，a41,a44=3,4(跟着走)
4，a22+a23+a32+a33=30(34×2-15-16-3-4)，
5，a21+a31+a24+a34=38(34×2-30)
6，(a11+a14)+(a41+a44)+(a21+a31+a24+a34)
    =(15+16)+(3+4)+38=76
7，(a11+a14)+(a41+a44)+(a21+a31+a24+a34)
    =a11+a21+a31+a41+a14+a24+a34+a44
    =34×2=68
8，76≠68

王守恩

dlpg070 发表于 2020-2-15 08:52
4阶幻方的性质
如有笔误，请指出
为了引用方便，补充了原来省略的(1)---(10)

根据4阶普通幻方定义，有：
a11+a12+a13+a14=34 第1行      (1)
a21+a22+a23+a24=34 第2行      (2)
a31+a32+a33+a34=34 第3行      (3)
a41+a42+a43+a44=34 第4行      (4)
a11+a21+a31+a41=34 第1列      (5)
a12+a22+a32+a42=34 第2列      (6)
a13+a23+a33+a43=34 第3列      (7)
a14+a24+a34+a44=34 第4列      (8)
a11+a22+a33+a44=34 左上右下   (9)
a14+a23+a32+a41=34 右上左下   (10)

用穷举法证明了：
对任意的4阶普通幻方(1---16):
除了必须的10个和为34以外，还有：(可由1---10推导，穷举验证)
1 a11+a14+a41+a44=34 4角4点      (11)
2 a22+a23+a32+a33=34 中心4点     (12)
3 a12+a13+a42+a43=34 中间2列4点  (13)
4 a21+a31+a24+a34=34 中间2行4点  (14)

有结论了，证明一下还是简单的。
(1)+(04): a11+a12+a13+a14+a41+a42+a43+a44=68    (A)
(9)+(10): a11+a22+a33+a44+a14+a23+a32+a41=68    (B)
(6)+(07): a12+a22+a32+a42+a13+a23+a33+a43=68    (C)
由(A),(B)得: a22+a23+a32+a33=a12+a13+a42+a43      (D)
由(C),(D)得:a22+a23+a32+a33=a12+a13+a42+a43=34 (12)(13)
(11)=(1)+(4)-(13)，(14)=(2)+(3)-(12)

dlpg070

王守恩 发表于 2020-2-16 09:34
根据4阶普通幻方定义，有：
a11+a12+a13+a14=34 第1行      (1)
a21+a22+a23+a24=34 第2行      (2)
...

为了及时求解4阶幻方，我编写了一个4阶幻方计算器，magicCalc.exe
可以解任意数字的4阶全部幻方，每题0.2秒
下面是45# 第1题的计算结果样本

***4x4幻方计算器(控制台简易版)***
显示问题数字
00 00 00 00
05 10 11 08
00 00 00 00
00 00 00 00
显示问题的全部解  
cnt= 1:
3,13,16, 2
5,10,11, 8
12, 7, 6, 9
14, 4, 1,15
cnt= 2:
3,16,13, 2
5,10,11, 8
12, 7, 6, 9
14, 1, 4,15
cnt= 3:
4,15,14, 1
5,10,11, 8
9, 6, 7,12
16, 3, 2,13
cnt= 4:
15, 1, 4,14
5,10,11, 8
12, 7, 6, 9
2,16,13, 3
cnt= 5:
15, 4, 1,14
5,10,11, 8
12, 7, 6, 9
2,13,16, 3
cnt= 6:
16, 3, 2,13
5,10,11, 8
9, 6, 7,12
4,15,14, 1

total= 6

王守恩

+-----+-----+------+-----+      
| a11 | a12 | a13  | a14 |      
+-----+-----+------+-----+      
|   5   |  10 |  11  |   8   |      
+-----+-----+-----+------+      
| a31 | a32 | a33 | a34 |     
+-----+-----+-----+------+      
| a41 | a42 | a43 | a44 |      
+-----+-----+-----+------+     

由a21+a24=5+8=13,可得a31+a34=21，由a22+a23=10+11=21,可得a32+33=13，
综合(a31+a34)+(a32+a33)可以得以下5种可能
  (6+15)+(1+12)=(6+15)+(4+9)=(7+14)+(1+12)=(7+14)+(4+9)=(9+12)+(6+7)
每种可能有4种填法，共计5×4=20种填法。对这20种填法分析如下。
01，a31=06,a34=15，a32=01,a33=12：无解。
02，a31=06,a34=15，a32=12,a33=01：无解。
03，a31=15,a34=06，a32=01,a33=12：无解。
04，a31=15,a34=06，a32=12,a33=01：无解。
05，a31=06,a34=15，a32=04,a33=09：无解。
06，a31=06,a34=15，a32=09,a33=04：无解。
07，a31=15,a34=06，a32=04,a33=09：无解。
08，a31=15,a34=06，a32=09,a33=04：无解。
09，a31=07,a34=14，a32=01,a33=12：无解。
10，a31=07,a34=14，a32=12,a33=01：无解。
11，a31=14,a34=07，a32=01,a33=12：无解。
12，a31=14,a34=07，a32=12,a33=01：无解。
13，a31=07,a34=14，a32=04,a33=09：无解。
14，a31=07,a34=14，a32=09,a33=04：无解。
15，a31=14,a34=07，a32=04,a33=09：无解。
16，a31=14,a34=07，a32=09,a33=04：无解。
17，a31=09,a34=12，a32=06,a33=07：有2个解，1——2。
18，a31=09,a34=12，a32=07,a33=06：无解。
19，a31=12,a34=09，a32=06,a33=07：无解。
20，a31=12,a34=09，a32=07,a33=06：有4个解，3——6。
结果如下。
1，09+12+6+7+04+16+13+01+14+15+03+02
2，09+12+6+7+16+04+01+13+02+03+15+14
3，12+09+7+6+03+14+15+02+13+16+01+04
4，12+09+7+6+03+14+15+02+16+13+04+01
5，12+09+7+6+15+02+03+14+01+04+13+06
6，12+09+7+6+15+02+03+14+04+01+16+13

上述12个数表示
a31+a34+a32+a33+a11+a41+a44+a14+a13+a12+a42+a43

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-2-16 17:12
为了及时求解4阶幻方，我编写了一个4阶幻方计算器，magicCalc.exe
可以解任意数字的4阶全部幻方，每题 ...

45#第2题的计算结果：6个解
***4x4幻方计算器(控制台简易版)***
显示问题数字
00 00 00 00
12 07 06 09
00 00 00 00
00 00 00 00
显示问题的全部解  
cnt= 1:
1,14,15, 4
12, 7, 6, 9
8,11,10, 5
13, 2, 3,16
cnt= 2:
2,13,16, 3
12, 7, 6, 9
5,10,11, 8
15, 4, 1,14
cnt= 3:
2,16,13, 3
12, 7, 6, 9
5,10,11, 8
15, 1, 4,14
cnt= 4:
13, 2, 3,16
12, 7, 6, 9
8,11,10, 5
1,14,15, 4
cnt= 5:
14, 1, 4,15
12, 7, 6, 9
5,10,11, 8
3,16,13, 2
cnt= 6:
14, 4, 1,15
12, 7, 6, 9
5,10,11, 8
3,13,16, 2

total= 6

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-2-17 08:39
45#第2题的计算结果：6个解
***4x4幻方计算器(控制台简易版)***
显示问题数字

45#第3题的计算结果：80个解
***4x4幻方计算器(控制台简易版)***
显示问题数字
00 00 00 00
00 02 15 00
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显示问题的全部解  
cnt= 1:
6,11, 8, 9
12, 2,15, 5
13, 7,10, 4
3,14, 1,16
cnt= 2:
6,11, 8, 9
13, 2,15, 4
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3,14, 1,16
cnt= 3:
7,11, 6,10
9, 2,15, 8
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cnt= 4:
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11,16, 1, 6
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11,16, 1, 6
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cnt= 34:
11,16, 1, 6
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12, 5,10, 7
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12, 8, 9, 5
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13, 7,10, 4
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12,14, 3, 5
1,11, 6,16
cnt= 43:
13, 7,10, 4
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12,14, 3, 5
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1, 7,10,16
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13,14, 3, 4
1, 2,15,16
12, 7,10, 5
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13,14, 3, 4
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1, 7,10,16
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4, 2,15,13
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11, 9, 6, 8
cnt= 58:
14,16, 3, 1
4, 2,15,13
9,11, 6, 8
7, 5,10,12
cnt= 59:
14,16, 3, 1
5, 2,15,12
4, 7,10,13
11, 9, 6, 8
cnt= 60:
14,16, 3, 1
9, 2,15, 8
4,11, 6,13
7, 5,10,12
cnt= 61:
16, 7,10, 1
3, 2,15,14
9,12, 5, 8
6,13, 4,11
cnt= 62:
16, 7,10, 1
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9,14, 3, 8
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cnt= 63:
16, 7,10, 1
9, 2,15, 8
3,12, 5,14
6,13, 4,11
cnt= 64:
16, 7,10, 1
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5,14, 3,12
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3, 2,15,14
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5,11, 6,12
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16, 8, 9, 1
10, 2,15, 7
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5,11, 6,12
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16,11, 6, 1
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5, 8, 9,12
10,13, 4, 7
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16,11, 6, 1
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10,13, 4, 7
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16,11, 6, 1
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16,11, 6, 1
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16,11, 6, 1
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16,11, 6, 1
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5, 8, 9,12
cnt= 73:
16,13, 4, 1
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10,11, 6, 7
cnt= 74:
16,13, 4, 1
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6, 7,10,11
cnt= 75:
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5, 2,15,12
3, 8, 9,14
10,11, 6, 7
cnt= 76:
16,13, 4, 1
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3,12, 5,14
6, 7,10,11
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5, 7,10,12
9,11, 8, 6
cnt= 78:
16,14, 1, 3
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9,11, 6, 8
5, 7,12,10
cnt= 79:
16,14, 1, 3
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4, 7,10,13
9,11, 8, 6
cnt= 80:
16,14, 1, 3
9, 2,15, 8
4,11, 6,13
5, 7,12,10

total= 80

王守恩

dlpg070 发表于 2020-2-15 08:52
4阶幻方的性质
如有笔误，请指出
为了引用方便，补充了原来省略的(1)---(10)

继续猜想(一)

4阶普通幻方性质
+-----+-----+------+-----+      
| a11 | a12 | a13 | a14 |      
+-----+-----+------+-----+      
| a21 | a22 | a23 | a24 |      
+-----+-----+-----+------+      
| a31 | a32 | a33 | a34 |     
+-----+-----+-----+------+      
| a41 | a42 | a43 | a44 |      
+-----+-----+-----+------+
a11+a12+a21+a22=a33+a34+a43+a44     
a13+a14+a23+a24=a31+a32+a41+a42