8n+3型素数必可拆为a²+2b²

好地方

8n+3型素数总可以表为a²+2b²的形式。
我发现了一个极简单的证明，但却不知道一般的证法，求大佬们赐教。

mathematica

初等数论里写的很明白：
4k+1素数可以写成两个整数的平方和，
4k+3素数不可以写成两个整数的平方和，

8n+3属于后者。你可以去找本初等数论的书，程序参看：
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 125&fromuid=865

葡萄糖

mathematica 发表于 2020-4-5 09:39
初等数论中写得很明白：

请看清楚别人的问题再做评论……

3=1^2+2*1^2
11=3^2+2*1^2
19=1^2+2*3^2
……

.·.·.

首先，$a^2+2b^2=(a+b\sqrt{-2})(a-b\sqrt{-2})$，而-2是8k+3的二次剩余。
借助这一点我们可用很轻易地找到a,b使得$8k+3|a^2+2b^2$
我们只需要找到$a-b\sqrt{-2}=0 (mod 8k+3)$的满足$max(a,b)^2<8k+3$的解，则对这组解$(a_0,b_0)$有$a_0^2+2b_0^2=8k+3$或者$b_0^2+2*(a_0/2)^2=8k+3$这两种情况都符合题意。

1. 这两行是草稿，应该划掉
   
2. 若$[\sqrt{8k+3}]^2=8k+1$则$[\sqrt{8k+3}]^2+2*1^2=8k+3$符合题意，否则必有存在m使得$\sqrt{8k+3}<m<4k+2$使得$m^2=-2(mod 8k+3)$
   
3. 此时考察$a-b\sqrt{-2}=0 (mod 8k+3)$我们希望找到两个较小的a,b满足这个式子。

复制代码

考察集合${(a,b):0\le a,b\le[\sqrt{8k+3}]}$上的一个映射$(a,b)\rightarrow a-b\sqrt{-2}(mod 8k+3)$，根据抽屉原理，必有$(a_0,b_0)$与$(a_1,b_1)$满足$a_0-b_0\sqrt{-2}=a_1-b_1\sqrt{-2}(mod 8k+3)$
从而$(a_0-a_1)-(b_0-b_1)\sqrt{-2}=0(mod 8k+3)$而$max(|a_0-a_1|,|b_0-b_1|)<\sqrt{8k+3}$
从而$(a_0-a_1),(b_0-b_1)$就是符合题意的一组解

好地方

嗯，楼上的证法跟费马平方和定理的证法一样，只是用了-2是平方剩余.
平方和定理我以前只知道结论，没学习方法，所以一开始也不知道本贴的命题怎么证。

我模仿据说是数学家Don zagier对平方和定理的“一句话”证明，找出了8n+3命题所需的一组变换。
虽然是模仿，但这组变换公式需要精心构造，我还是挺得意的，而且事先并不知道命题是否成立。

hujunhua

好地方 发表于 2020-4-7 08:53
…模仿了据说是数学家Don zagier对平方和定理的“一句话”证明…

是否看过本坛的这个帖子？
著名的Eulor-Fermat定理的一句话证明

看到楼主的问题后，首先想到的就是以前发的这个帖子。
然后模仿了一下，也找到了6个对合变换矩阵。但没有把条件范围的划分整理顺当。

检查了楼上的公式组，确认正确。但发现按 b 进行区划显得更简明。\[(a,b,c)\to\begin{cases}
(\quad a-2b,&2a-2b+c,&\qquad b\qquad),&\quad\enspace\text{if}\enspace2b< a,\\
(\quad2b-a,&\qquad b,&2a-2b+c),&\text{else if}\enspace2b<2a+c,\\
(3a-2b+2c,&2a-b+2c,&2b-2a-c),&\text{else if} \enspace 2b<3a+2c,\\
(2b-3a-2c,&2b-2a-c,&2a-b+2c),&\text{else if} \quad b<2a+2c,\\
(\quad a+2c,&\qquad c,&b-2a-2c), &\text{else if}\enspace 2b<p.\end{cases}\]记各分段的变换矩阵依次为`A_i(i=1, 2, 3, 4, 5)`, 作用于`S`中的子集`S_i`.
易验证，`A_1\cdot A_5=A_2^2=A_3^2=A_4^2=E`.
可见上述变换确实是一个对合。
`S_1`与`S_5`对易，没有不动点。`S_2, S_3, S_4`皆为自对应段，需要检验不动点。
设`S_i`中有不动点(a, b, c), 则
`S_2: 2b-a=a→a=b`, 代入`a^2+2bc=8n+3→(a, b, c)=(1,1,4n+1)`。
`S_3: 3a-2b+2c=a→a=b-c`, 代入`a^2+2bc=8n+3→b^2+c^2=8n+3`，无解*。
`S_4: 2b-3a-2c=a→b=2a+c`, 代入`a^2+2bc=8n+3→a^2+4ac+2c^2=8n+3`，无解*。
*：进行 mod8 检验即可。
确实有唯一的不动点`(1, 1, 4n+1)`，加鸡腿！

好地方

hujunhua 发表于 2020-4-7 14:29
是否看过本坛的这个帖子？
著名的Eulor-Fermat定理的一句话证明

原来早就有了啊，我是最近才看到这个神奇证明，跟您一样想到用它来证别的问题。
确实以b来划分更漂亮
待我试试6n+1看看。

hujunhua

6n+1=x^2+3y^2模仿证明，我构造的对合分为 9 段。
段1, 9对易，段3, 7对易，段2, 4, 5, 6, 8自对应。
5个自对应段都需要检验不动点，这“一句话”后面已藏了太多的东西。
而且个别段的检验仍然归结为6n+1表为2元2次型的问题。

nyy

hujunhua 发表于 2020-4-7 14:29
是否看过本坛的这个帖子？
著名的Eulor-Fermat定理的一句话证明

我只好奇这种构造证明是怎么想出来的！

buck114

nyy 发表于 2023-3-28 15:20
我只好奇这种构造证明是怎么想出来的！

$4k+1=a^2+4bc$的解可以看做一个边长为$a$的正方形外加四个长宽分别为$b, c$的长方形所组成的风车型.自己画图可以知道, 除$(1, 1, k)$外(由于$p$为素数), 每个这样的风车型能够表示两组解.于是可以知道该不定方程有奇数组解.将这个图形解法表达出来就是这个一句话证明.