三点相遇问题

lsr314

假如有一个圆盘形的机械装置，使得在上面放上A、B、C三个陀螺后，A会朝着B转，B会朝着C转，C会朝着A转。假设圆盘的半径为R，三个陀螺互相追赶的速率是1，陀螺的半径忽略不计。问怎么放置三个陀螺，能使他们从开始到最终相遇到一起花的时间最长。

为了避免圆盘这个条件对最终结论的限制，可以考虑一个类似的问题：
描述改变一下：假设有一个充分大的平面机械装置，使得在上面放上A、B、C三个陀螺后，A会朝着B转，B会朝着C转，C会朝着A转。假设三个陀螺开始时彼此的间距都不超过R，三个陀螺互相追赶的速率是1，陀螺的半径忽略不计。问怎么放置三个陀螺，能使他们从开始到最终相遇到一起花的时间最长。

注：相互追赶的速率是指单个陀螺的运动速率，即相对于静止的机械装置的速率，不是指两个陀螺相互之间距离减少的速率，比如，如果两个陀螺是相向而行，那么他们的相对速率是2，而不是1.

wayne

1）三个陀螺初始位置是圆盘的边缘吗
2）三个陀螺的初始速度的方向是啥？或者说，谁是主动，谁是被动，现在看着感觉是死锁的关系，^_^

lsr314

wayne 发表于 2020-9-14 15:47
1）三个陀螺初始位置是圆盘的边缘吗
2）三个陀螺的初始速度的方向是啥？或者说，谁是主动，谁是被动，现在 ...

1）初始位置不必须是边缘，但是为了相遇时间最长，必然至少有两个在边缘上
2）初始的运动方向A指向B，B指向C，C指向A，可以想象A最终的运动轨迹的切线始终经过B，等等

hujunhua

广场上四只相互追逐的狗

markfang2050

Nim游戏

gxqcn

若A始终朝向B，那么AB之间的相对距离的减少速率，就是A相对B的运动速率。
所以，应将三者均匀分布在圆盘上，它们将走出螺旋线相遇在圆盘中心。

lsr314

hujunhua 发表于 2020-9-14 16:24
广场上四只相互追逐的狗

对，一样的题目，本题的重点在于怎么确定初始位置，使得相遇所花时间最长，是不是组成正三角形的时候时间最长？

wayne

打个岔回来都已经被大家揭底了，
印象中是高中物理竞赛书上的习题，这个曲线还是很有名的，叫做追逐曲线：https://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html
https://www.hsu.edu/uploads/pages/2006-7afpursuit.pdf
不过，追逐曲线一般都是指被追者为了尽可能延长径向被追的时间，其速度始终垂直于追捕者的速度方向，然后追捕者的速度方向是时时刻刻的指向 被追者的位置。你这题目里的循环指向并不是最优逃跑策略。

gxqcn

假设三者初始距离不等：
A先与B重合，AB成了零向量，方向不确定，
接下来，A该如何运动？它俩会再分道扬镳吗？

lsr314

gxqcn 发表于 2020-9-14 16:51
假设三者初始距离不等：
A先与B重合，AB成了零向量，方向不确定，
接下来，A该如何运动？它俩会再分道扬 ...

如果AB重合，那么A和B会一起和C做相向运动，直到重合，这一段轨迹是线段。