如下不定方程有通解公式吗

wsc810

$u^2+v^2-x^2-y^2=2n$,  n已知

northwolves

感觉实数范围内应该能列出来，整数反而比较麻烦

uk702

(n+1)^2+0^2-n^2-1^2=2n
1^2+n^2-(n-1)^2-0^2=2n
不知算不算是通解？

northwolves

$(2n+7)^2+(n+4)^2-(2n+8)^2-(n+1)^2=2n$
$(5n+7)^2+(8n+6)^2-(8n+9)^2-(5n+2)^2=2n$

uk702

uk702 发表于 2020-12-10 18:02
(n+1)^2+0^2-n^2-1^2=2n
1^2+n^2-(n-1)^2-0^2=2n
不知算不算是通解？

能以简单的方式给出所有解的公式应该是不存在的。
1）让 x=0，y =0，求 u^2+v^2=n 应该就没有简单公式可求。
2）让 y=0，求 n=u^2+v^2-x^2， 且假设 u, v, x 都小于等于根号 n，是否对于充分大的 n 都有解，这是 Erdos 猜想，据说至今没有证明。

如果有一种简单的公式能给出所有解的话，我认为上述问题都不是问题。