△ABC的内心P满足PC=AB，∠PBC=2∠PCB，求∠BAC

anonymous · 发表于 2021-2-12 13:52:21

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本帖最后由 anonymous 于 2021-2-12 13:55 编辑

△ABC的内心P满足PC=AB，∠PBC=2∠PCB，求∠BAC。

请使用纯几何解法，不要用三角函数。

mathe · 发表于 2021-2-12 16:11:17

mathe · 发表于 2021-2-12 16:14:07

如图在AC上取点H使得AH=AB,于是$\Delta APB$全等$\Delta APH$, 所以$/_AHP=/_ABP=/_ACB$,所以PH//BC
于是四边形PHCB是等腰梯形,BH=PC=AB,所以$\Delta ABH$是正三角形，$/_BAC=60度$

anonymous · 发表于 2021-2-12 16:50:12

mathe 发表于 2021-2-12 16:11

或者做∠PBC的角平分线交AC与H

王守恩 · 发表于 2021-2-12 19:34:33

本帖最后由王守恩于 2021-2-13 09:19 编辑

mathe 发表于 2021-2-12 16:14
如图在AC上取点H使得AH=AB,于是$\Delta APB$全等$\Delta APH$, 所以$/_AHP=/_ABP=/_ACB$,所以PH//BC
于是 ...

谢谢mathe！有 3 楼，才敢有下面的想法。
过P作BC平行线，PHCB是等腰梯形
进而BP=PH=HC，PC=BH=AB=AH

mathematica · 发表于 2021-3-9 18:41:22

这类问题我总是忍不住上来要列方程解方程！明天补充一下过程！

mathematica · 发表于 2021-3-10 08:50:06

ans=Solve[Sin[x]/Sin[2*x]==Sin[3*x+Pi/2]/Sin[x+Pi/2]&&0<x<Pi/3,{x}]//FullSimplify

复制代码

用正弦定理计算,假设∠PCB=x,然后在左边三角形与下面三角形中建立正弦定理,然后解方程,
最后结果$\left\{\left\{x\to \frac{\pi }{9}\right\}\right\}$
代数思路吊打纯几何思路

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