化简数学公式

wsc810

设复数 $w=u+Iv  d=a+Ib  z=x+I y$

假设我们得到 复 pell 方程  $w^2-dz^2=m+n I$

再对该方程取共轭，$\bar{w}^2-\bar{d}\bar{z}^2=m-nI$

然后对两恒等式相乘，可以得到怎样的结论

northwolves

两个互为共轭复数的乘积等于这个复数模的平方

wsc810

$w^2-dz^2=m+nI$

$\bar{w}^2-\bar{d}\bar{z}^2=m-nI$

$w^2*\bar{w}^2+d*\bar{d}z^2*\bar{z}^2-w^2\bar{d}\bar{z}^2-\bar{w}^2dz^2=(m+nI)(m-nI)$

$|w|^2+|d||z|^2-w^2\bar{d}\bar{z}^2-\bar{w}^2dz^2=m^2+n^2$

$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2-w^2\bar{d}\bar{z}^2-\bar{\w^2\bar{d}\bar{z}^2}=m^2+n^2$

$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2-2Re[w^2\bar{d}\bar{z}^2]=m^2+n^2$

$Re[w^2\bar{d}\bar{z}^2]=(u+Iv)^2(a-Ib)(x-Iy)^2=(u^2-v^2+I2uv)(x^2-y^2-I2xy)(a-Ib)=((u^2-v^2)(x^2-y^2)+4uvxy)-I(2uv(x^2-y^2)+2xy(u^2-v^2))(a-Ib)$
  
$=a((u^2-v^2)(x^2-y^2)+4uvxy)-b(2uv(x^2-y^2)+2xy(u^2-v^2))$


继续化简

  $a((u^2-v^2)(x^2-y^2)+4uvxy)-b(2uv(x^2-y^2)+2xy(u^2-v^2))$

$=a((u^2x^2+v^2y^2-u^2y^2-v^2x^2+4uvxy)-2b(uvx^2+xyu^2-uvy^2-xyv^2)$

$=a((ux+vy)^2-(uy-vx)^2)-2b((vx+uy)(ux-vy))$


$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2=2Re[w^2\bar{d}\bar{z}^2]+m^2+n^2$

$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2=m^2+n^2+2a((ux+vy)^2-(uy-vx)^2)-4b((vx+uy)(ux-vy))$

不知以上公式推导有错误吗
  

wsc810

$(-2996+160785 i)^2-997331 (3+4 i) (31+65 i)^2=663-1974 i$

1. u = -2996; v = 160785; x = 31; y = 65; a = -997331*3; b = -997331*4; \
   
2. m = 663; n = -1974;
   
3. (u^2 + v^2)^2 + (a^2 + b^2) (x^2 + y^2)^2=1337561181128345210981

复制代码

1. m^2 + n^2 + (2*a ((u x + v y)^2 - (u y - v x)^2) -
   
2.    4*b (v x + u y) (u x - v y))=-1287381628414959442811

复制代码

用实例计算，结果并不正确，问题出在哪里

wsc810

没人看看公式推导哪里出了问题

wsc810

有人看吗

northwolves

Try:

$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2=m^2+n^2+2a((ux+vy)^2-(uy-vx)^2)+4b((vx+uy)(ux-vy))$

northwolves

最后一项的两个多项式之间的符号颠倒一下就对了
$m^2+n^2=(u^2-v^2-a(x^2-y^2)+2bxy)^2+(2uv-b(x^2-y^2)-2axy)^2$
$=(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2+2(u^2-v^2)(2bxy-a(x^2-y^2))-4uv(2axy+b(x^2-y^2)$
$=(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2-2a((ux+vy)^2-(vx-uy)^2)+4b(ux+vy)(vx-uy)$

northwolves

验证通过：

1.33756118112835E+21
1.33756118112835E+21

wsc810

northwolves 发表于 2021-3-20 11:24
最后一项的两个多项式之间的符号颠倒一下就对了
$m^2+n^2=(u^2-v^2-a(x^2-y^2)+2bxy)^2+(2uv-b(x^2-y^2)-2 ...

第一行这个恒等式你是怎么得到的,能否写出具体推导过程