第4串数是怎样的一串数？

王守恩

设$f_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k=\frac{g_k(n)}{u_k}$
其中$u_k$为A064538, $g_k(x)$为整系数多项式。
问题1: 对于任意整数a,是否存在正整数n使得$n+a|f_k(n)$
问题2: 如果对于某个整数a,问题1存在n,那么是否存在最大的n,如果存在，它是多少？
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部分已知信息:
如果k为奇数，$a\ge 3$,那么最大n存在
如果$a -=2,3 (mod 4)$, 最大n为$\frac{1^k+2^k+...+(a-1)^k}2-a$
如果$a -=0,1 (mod 4)$, 最大n为$1^k+2^k+...+(a-1)^k-a$

对于任意满足条件的n,必然有\(m=n+a | g_k(a-1) = \abs{g_k(-a)}\)
而在a较大时，$g_k(a-1)$将是一个很大的正整数，这时通常它会存在一个大素因子p,使得$p>a$而且$(p,u_k)=1$,那么这时显然$n=p-a$是一个符合问题1的解，但是不一定是最优解。
比如k=4,a=5,那么$f_4(5-1)=2\times3\times59$, 于是$54+5|f_4(54)=3^2\times11\times59\times109\times151$

$f_k(0)=f_k(-1)=0$或者说$x(x+1)|g_k(x)$, 而且$g_k(-1-x)=g_k(x)$

$f_k'(x)=k f_{k-1}(x)+c_k$, 利用此公式，对于$f_{k-1}(x)$进行积分，乘以k,再利用$f_k(0)=0,f_k(1)=1$可以计算出$f_k(x)$
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第 1 串数，使得 \(n+a\) 能够整除 \(1+2+3+4+5+…+n\) 的最大正整数 \(S(n)\) 是这样的一串数:
\(a=3, S(3)=3*1\)
\(a=4, S(4)=4*2\)
\(a=5, S(5)=5*3\)
\(a=6, S(6)=6*4\)
\(a=7, S(7)=7*5\)
\(a=8, S(8)=8*6\)
\(a=9, S(9)=9*7\)

第 2 串数，使得 \(n+a\) 能够整除 \(1^2+2^2+3^2+4^2+…+n^2\) 的最大正整数 \(S(n)\) 是这样的一串数:
\(a=2, S(2)=2^2*1\)
\(a=3, S(3)=3^2*3\)
\(a=4, S(4)=4^2*5\)
\(a=5, S(5)=5^2*7\)
\(a=6, S(6)=6^2*9\)
\(a=7, S(7)=7^2*11\)
\(a=8, S(8)=8^2*13\)
\(a=9, S(9)=9^2*15\)

第 3 串数，使得 \(n+a\) 能够整除 \(1^3+2^3+3^3+4^3+…+n^3\) 的最大正整数 \(S(n)\) 是这样的一串数:
\(a=3, S(3)=3^2*1^2*2-3\)
\(a=4, S(4)=3^2*2^2-4\)
\(a=5, S(5)=5^2*2^2-5\)
\(a=6, S(6)=5^2*3^2*2-6\)
\(a=7, S(7)=7^2*3^2*2-7\)
\(a=8, S(8)=7^2*4^2-8\)
\(a=9, S(9)=9^2*4^2-9\)

第 4 串数，使得 \(n+a\) 能够整除 \(1^4+2^4+3^4+4^4+…+n^4\) 的最大正整数\(S(n)\) 是怎样的一串数？

《数学中国论坛》转载：使得 n+3 能够整除 1^3+2^3+…+n^3 的最大正整数 n 是什么？

mathe

等幂和可以写成n的多项式形式
所以本质上是对于多项式$f(x)=\frac{g(x)}{u}$,其中g(x)整系数，u整数，而且对于任意整数n,f(n)是整数。
现在给定整数a,找最大的n使得$n+a|f(n)$,

由于$g(x)=h(x,a)(x+a)+g(-a)$, 我们不需要计算出h(x,a).
由此我们得出$n+a|g(n)=h(n,a)(n+a)+g(-a)$, 所以要求$n+a|g(-a)$
也就是我们只需要找g(-a)的尽量大的因子m,使得m|f(m-a), 那么就可以取n=m-a就满足条件了。
比如$f_1(x)=\frac{x(x+1)}2$,所以$g(x)=x(x+1)$, g(-a)=a(a-1). 取m=a(a-1), n=a(a-2), 代入$f(n)=\frac{(a^2-2a)(a-1)^2}2=a(a-1)\frac{(a-2)(a-1)}2$满足条件，所以最大的n是a(a-2)
而$f_3(x)=\frac{x^2(x+1)^2}4$, 所以$g(x)=x^2(x+1)^2$, $g(-a)=a^2(a-1)^2$, 如果取$m=a^2(a-1)^2, n=a(a(a-1)^2-1)$,
$\frac{f(n)}m=\frac{a^2(a(a-1)^2-1)^2(a(a(a-1)^2-1)+1)^2}{4a^2(a-1)^2}=\frac{(a^3 - 2a^2 + a - 1)^2(a^3 - a^2 - 1)^2}4$必然不是整数所以淘汰。
如果取$m=\frac{a^2(a-1)^2}2, n=a(\frac{a(a-1)^2}2-1)$,
$\frac{f(n)}m=\frac{(a-2)^2(a^2 + 1)^2(a^3 - a^2 - 2)^2}{32}$,对于部分a是可以取整数（比如a=2)的。
计算可以知道$a -=2,3(mod 4)$时上面的结果是整数。
同样对于部分a,$a^2(a-1)^2$可以是3的倍数，我们还要检查$m=\frac{a^2(a-1)^2}3, n=a(\frac{a(a-1)^2}3-1)$的情况，计算表示均不成立。
而最后检查$m=\frac{a^2(a-1)^2}4, n=a(\frac{a(a-1)^2}4-1)$的情况，计算表示$\frac{f(n)}m$都是整数。
所以对于$f_3(x)$的情况，$a -=2,3(mod 4)$时，取 $n=a(\frac{a(a-1)^2}2-1)$, 否则取$n=a(\frac{a(a-1)^2}4-1)$

mathe

$f_4(x)=\frac{6x^5+15x^4+10x^3-x}{30}$
取$m=-g(-a)=6a^5 - 15a^4 + 10a^3 - a, n=m-a$结果可以。所以取$n=6a^5 - 15a^4 + 10a^3 - 2a$即可

王守恩

mathe 发表于 2021-9-15 18:35
等幂和可以写成n的多项式形式
所以本质上是对于多项式$f(x)=\frac{g(x)}{u}$,其中g(x)整系数，u整数，而且 ...

谢谢 mathe!  根据2楼最后一行的提示，对于\(f_{3}(x)\)的情况，

\(\D f_{3}(x)=\frac{a^2(a-1)^2}{2+2\big[\left\{(2a+5)/8\right\}\big]\ \ }-a\)

\(\big[\ \ \big]\) 表示四舍五入，\(\left\{\ \ \right\}\)表示取小数部分

{15, 32, 95, 444, 875, 776, 1287, 4040, 6039, 4344, 6071, 16548, 22035, 14384, 18479,
46800, 58463, 36080, 44079, 106700, 127995, 76152, 89975, 211224, 246375, 142856,
164807, 378420, 432419, 245984, 278751, 629408, 708015, 396864, 443519, 988380,..}
说明一下：没有2楼最后一行的提示，1楼的通项公式是很丑的，
当然这个公式也许还可以调整，因为这串数可是在OEIS找不到的。

王守恩

王守恩 发表于 2021-9-16 07:37
谢谢 mathe!  根据2楼最后一行的提示，对于\(f_{3}(x)\)的情况，

\(\D f_{3}(x)=\frac{(a(a-1))^2/2\  ...

谢谢 mathe!  受 2 楼最后一行启发，对于\(f_{5}(x)\)的情况，同理可得\(f_{7}(x)\),  \(f_{9}(x)......\)

\(\D f_{5}(x)=\frac{a^2(a-1)^2(2a(a-1)-1)\ \ \ }{6+6\big[\left\{(2a+5)/8\right\}\big]}-a\)

\(\big[\ \ \big]\) 表示四舍五入，\(\left\{\ \ \right\}\)表示取小数部分

{63, 272, 1295, 8844, 24395, 29000, 61767, 241640, 441639, 381864, 630695, 2003988,
3079635, 2299184,3347759,9535248,13314383,9133280,12333279,32834780,43142043,
28007352, 35969975, 91471224, 115233975, 71965880, 89176247,219374820, ...........}

王守恩

mathe 发表于 2021-9-15 19:15
$f_4(x)=\frac{6x^5+15x^4+10x^3-x}{30}$
取$m=-g(-a)=6a^5 - 15a^4 + 10a^3 - a, n=m-a$结果可以。所以取 ...

谢谢mathe！接 3 楼，对于\(f_{4}(x)\)的情况，思路很好，

\(\D f_{4}(x)=\frac{6a^5-15a^4+10a^3-a\ \ \ \ }{5}-a\)          x=2, 3, 4, 5, ...

{4, 99, 584, 2119, 5868, 13643,?, 28048, 52623, 91988, 151987, 239832, 364247,?, 535612, 766107, 1069856, 1463071, 1964196,
2594051,?,  3375976, 4335975, 5502860, 6908395, 8587440, 10578095,?, 12921844,?, 15663699, 18852344, 22540279, 26783964,
31643963,  37185088,?,   43476543, 50592068, 58610083, 67613832, 77691527, 88936492,?,   101447307, 115327952, 130687951,
147642516, 166312691, 186825496,?,  209314071, 233917820, 260782555, 290060640, 321911135, 356499940,?,  393999939,?, ..}
其中x=7, 13, 19, 25, 26,
         32, 38, 44, 50, 51,
         57, 63, 69, 75, 76,
         82, 88, 94, ...........有问题。
也就是主帖《第4串数是怎样的一串数？》5分之4的题目有答案了。

mathe

的确对于大部分项除以5即可，但是对于7,13,...例外，计算结果需要除以的数分别为
7 14
13 39
19 9
25 24
26 39
32 9
38 50
44 29
50 9
51 50
57 24
63 9
69 69
75 50
76 75
82 50
88 24
94 50
100 9
101 75
107 50
113 9
119 14
125 125
126 9
132 44
138 50
144 9
150 39
151 14
157 39
163 50
169 24
175 14
176 189
182 14
188 44
194 9
200 24
201 24
207 9
213 75
219 50
225 9
226 9
232 24
238 14
244 125
250 125
251 125
257 125
263 14
269 75
275 9
276 29
282 50
288 9
294 14
300 39
301 75
307 9
313 24
319 14
325 44
326 14
332 39
338 50
344 24
350 14
351 14
357 69
363 29
369 9
375 14
376 24
382 14
388 9
394 50
400 75
401 9
407 14
413 44
419 50
425 24
426 50
432 675
438 14
444 75
450 9
451 9
457 24
463 14
469 9
475 39
476 75
482 9
488 24
494 14
500 125
501 39
507 39
513 425
519 14
525 75
526 14
532 9
538 50
544 75
550 9
551 29
557 75
563 9
569 24
575 14
576 9
582 14
588 75
594 50
600 24
601 24
607 50
613 9
619 125
625 39
626 9
632 24
638 14
644 9
650 39
651 14
657 9
663 39
669 75
675 50
676 189
682 29
688 125
694 9
700 75
701 75
707 9
713 24
719 50
725 9
726 29
732 44
738 9
744 24
750 14
751 114
757 89
763 14
769 29
775 9
776 24
782 50
788 9
794 39
800 39
801 9
807 39
813 29
819 9
825 24
826 14
832 39
838 50
844 75
850 50
851 14
857 24
863 50
869 9
875 14
876 84
882 9
888 24
894 50
900 9
901 9
907 14
913 75
919 50
925 44
926 50
932 324
938 14
944 59
950 9
951 50
957 29
963 9
969 24
975 39
976 39
982 9
988 39
994 14
1000 125
1001 24
1007 114
1013 44
1019 14
1025 75
1026 14
1032 24
1038 50
1044 9
1050 14
1051 14
1057 75
1063 9
1069 75
1075 14
1076 9
1082 14
1088 29
1094 50
1100 44
1101 44
1107 14
1113 24
1119 39
1125 9
1126 9
1132 29
1138 14
1144 9
1150 50
1151 39
1157 9
1163 14
1169 75
1175 29
1176 24
1182 50
1188 44
1194 14
1200 75
1201 75
1207 9
1213 75
1219 14
1225 9
1226 14
1232 75
1238 9
1244 44
1250 14
1251 9
1257 24
1263 50
1269 59
1275 14
1276 29
1282 14
1288 9
1294 39
1300 39
1301 9
1307 39
1313 39
1319 9
1325 75
1326 39
1332 9
1338 14
1344 75
1350 50
1351 14
1357 59
1363 29
1369 9
1375 125
1376 125
1382 9
1388 75
1394 14
1400 9
1401 24
1407 14
1413 9
1419 50
1425 75
1426 50
1432 179
1438 69
1444 39
1450 9
1451 29
1457 39
1463 9
1469 39
1475 50
1476 9
1482 39
1488 75
1494 9
1500 125
1501 125
1507 69
1513 89
1519 14
1525 75
1526 14
1532 75
1538 29
1544 9
1550 50
1551 14
1557 9
1563 254
1569 75
1575 9
1576 9
1582 14
1588 69
1594 50
1600 39
1601 75
1607 14
1613 39
1619 39
1625 9
1626 39
1632 39
1638 9
1644 75
1650 50
1651 39
1657 9
1663 14
1669 75
1675 50
1676 75
1682 29
1688 125
1694 14
1700 44
1701 119
1707 50
1713 75
1719 9
1725 69
1726 14
1732 75
1738 9
1744 249
1750 14
1751 9
1757 84
1763 50
1769 29
1775 14
1776 75
1782 14
1788 39
1794 39
1800 9
1801 9
1807 14
1813 29
1819 9
1825 59
1826 50
1832 9
1838 14
1844 75
1850 50
1851 50
1857 29
1863 14
1869 84
1875 69
1876 44
1882 9
1888 59
1894 14
1900 9
1901 75
1907 50
1913 9
1919 14
1925 39
1926 9
1932 69
1938 39
1944 29
1950 14
1951 39
1957 39
1963 9
1969 75
1975 14
1976 9
1982 14
1988 75
1994 9
2000 125
2001 29
2007 9
2013 44
2019 50
2025 200
2026 50
2032 75
2038 14
2044 9
2050 50
2051 14
2057 9
2063 125
2069 44
2075 9
2076 75
2082 50
2088 9
2094 14
2100 39
2101 44
2107 14
2113 39
2119 39
2125 9
2126 39
2132 29
2138 9
2144 75
2150 14
2151 9
2157 44
2163 14
2169 9
2175 29
2176 29
2182 50
2188 59
2194 50
2200 24
2201 200
2207 50
2213 59
2219 9
2225 75
2226 14
2232 9
2238 50
2244 44
2250 9
2251 9
2257 125
2263 29
2269 324
2275 14
2276 39
2282 14
2288 39
2294 50
2300 9
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2326 50
2332 9
2338 14
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2350 29
2351 50
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2363 14
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2375 114
2376 125
2382 125
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2394 9
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2401 75
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2438 39
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2451 14
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2463 50
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2551 50
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2575 9
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3969 2025
3975 50
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4276 9
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4494 14
4500 9
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4513 75
4519 9

mathe

$f_5$时规律比较强，在a除以4余数为2，3时除以6，余数为0，1时除以12.
$f_6$全部除以1即可。
$f_7$除以4余数为2，3时除以12，余数为0，1时除以24
然后$f_8$和$f_4$一样，大部分除以15，但是同样在7,13,19,...处出现例外
$f_9$同样4为周期，余数为2，3时除以10，余数为0，1时除以20
$f_{10}$好像除了点意外，基本周期为5，但是出现了少量不规律数据

mathe

1. applyf(c,x)={
   
2.     local(r);
   
3.     r=0;
   
4.     for(u=1,length(c),
   
5.         r*=x;r+=c[u]
   
6.     );
   
7.     r
   
8. }
   
9. findn(c,den,a)={
   
10.   local(fa,d,n,r);
    
11.   fa=applyf(c,-a);
    
12.   if(fa%den!=0,
    
13.         print("Invalid input"),
    
14.     if(fa<0,fa=-fa);
    
15.     d=divisors(fa);
    
16.     for(u=1,length(d),
    
17.        n=d[length(d)+1-u]-a;
    
18.        if(n>0,
    
19.            r=applyf(c,n)/den;
    
20.            if(r%(n+a)==0,
    
21.                print(a" "fa/(n+a));break()
    
22.            )
    
23.        )
    
24.     )
    
25.   )
    
26. }

复制代码

比如对于$f_4$，我们可以运行
findn([6,15,10,0,-1,0],30,a) (其中a为2，3，4，...)

王守恩

mathe 发表于 2021-9-17 13:21
$f_5$时规律比较强，在a除以4余数为2，3时除以6，余数为0，1时除以12.
$f_6$全部除以1即可。
$f_7$除以4 ...

谢谢mathe！先把奇数(2k+1)的规律解决。

\(\D f_{2k+1}\big(x\big)=\bigg(1+\big[\left\{(2x+1)/8\right\}\big]\bigg)\sum_{j=1}^{x-1}\ \ j^{2k+1}-x\)      x=3, 4, 5, ...     k=1, 2, 3, 4, ...     

\(\big[\ \ \big]\) 表示四舍五入，\(\left\{\ \ \right\}\)表示取小数部分

{15, 32, 95, 444, 875, 776, 1287, 4040, 6039, 4344, 6071, 16548, 22035, 14384, 18479, 46800, 58463, 36080, 44079, 106700,...
{63, 272, 1295, 8844, 24395, 29000, 61767, 241640, 441639, 381864, 630695,  2003988, 3079635, 2299184, 3347759, 9535248,...
{255,  2312,  18695,  193644,  753515,  1200296,  3297447,  16160840,  36160839,  37567584, 73399391, 272295828, 483122835,...  
{1023, 20192, 282335, 4470924, 24626315, 52666760, 186884487, 1148609960, 3148609959, 3932252664, 9092033015,39393064788,....
{4095, 179192, 4373495, 106403244, 831997355, 2393325416, 10983260007,  84728639240, 284728639239, 427675990224, 1170684360911,...
.........

这些数字串可都是在 OEIS 找不到的。