請教一個牛頓的定積分問題

ejsoon

牛頓在1666年發表以下公式：

$$\pi=\frac{3\sqrt{3}}{4}+24\int_{0}^{\frac{1}{4}}\sqrt{x-x^2}\dif x$$

請問這個定積分如何計算或展開？

1676年，牛頓又發表以下級數：

$$\frac{\pi}{3}=1+\frac{1}{4\cdot 3!}+\frac{1\cdot 3^2}{4^2\cdot 5!}+\frac{1\cdot 3^2\cdot 5^2}{4^3\cdot 7!}+\cdots$$

請問這個級數跟上面的公式有沒有關係？

ejsoon

那我應該如何驗證這個公式是否正確呢？

ejsoon

這個帖子仍然沒有得到大神的關注。


我可能應該改個問法：如何驗證牛頓的這兩個式子是正確的？

ejsoon

已用在線計算器驗證第一個是對的。

northwolves

$\int\sqrt{x-x^2} \dx$
$=\int\sqrt{\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2} dx$
$=\int\sqrt{\frac{1}{4}-t^2} dt$
令$t=\frac{sinu}{2}$则$u=arcsin(2t)$
$=\int\sqrt{\frac{1}{4}-(\frac{sinu}{2})^2} \frac{cosu}{2}du$
$=\frac{1}{4}\int cos^2u du$
$=\frac{1}{8}\int (cos(2u)+1) du$
$ =\frac{1}{8} (u +\frac{1}{2} sin(2u)) + C$