abcxyz对应的四面体体积公式大于零，那么abcxyz能构成四面体吗？

nyy

nyy 发表于 2023-3-31 10:36
如果能构成三角形，那体积肯定大于零呀！

这是你想当然的想法，你自己试试AB=6，AC=BC=7，AD=8，BD=CD=4计算下这个四面体的体积

1. Clear["Global`*"];(*删除所有变量*)
   
2. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
3. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
4. vol=fun[6,7,8,4,4,7]
   

复制代码

计算结果：

\[\frac{25 i}{2}\]

假设AD是变量x，
那么体积表达式等于
\[\frac{\sqrt{-98 x^4+6664 x^2-70088}}{12 \sqrt{2}}=0\]

解方程
\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{\frac{2}{7} \left(119-30 \sqrt{6}\right)}\right\},\left\{x\to \sqrt{\frac{2}{7} \left(119-30 \sqrt{6}\right)}\right\},\left\{x\to -\sqrt{\frac{2}{7} \left(30 \sqrt{6}+119\right)}\right\},\left\{x\to \sqrt{\frac{2}{7} \left(30 \sqrt{6}+119\right)}\right\}\right\}\]

数值化
{{x -> -3.60616}, {x -> 3.60616}, {x -> -7.4159}, {x -> 7.4159}}

看方程的结果，原来最大距离只能是7.4159那么大，你选择了8，确实是不存在的。
你的结果是对的，我确实想当然了，我错了！

nyy

hejoseph 发表于 2023-3-31 11:27
对于 $AB=6$，$AC=BC=7$，$AD=8$，$BD=CD=4$ 画了个四面体的展开图，其中 $A_1E$ 垂直于 $BC$，$A_2F$ 垂 ...

并不是你想那样，如果你事先不知道六棱确定的体积公式，你能怎么做？通过这样作图就能确定了

即使我不知道四面体体积公式，我也能计算呀。
步骤如下：
沿着AD棱剪断，然后肯定能得到两个△ABC、△DBC，
作AE垂直于BC于E，
作DF垂直于BC于F，
根据三角形方面的知识（余弦定理等），很容易就能算出AE、DF、BE、BF、EF的长度，
然后很容易就得到AD的最大值最小值。

我给你用手工绘制了一副图片，应该很容易理解！

因此即使我不知道四面体六条棱的体积公式，我也能解决呀，我之所以用那个体积公式，
是因为我有现成的代码呀，现成的子函数代码，直接套公式，
然后很方便呀。连图都省得画了，有这么简单的办法，我当然要用！
你说不是吗？

nyy

nyy 发表于 2023-4-3 08:55
即使我不知道四面体体积公式，我也能计算呀。
步骤如下：
沿着AD棱剪断，然后肯定能得到两个△AB ...

我用四面体体积公式计算，这样做对我简单呀，虽然对于电脑来说是复杂了，
但是很显然我要把复杂的踢给电脑，而把简单的留给自己，不是吗？

nyy

hejoseph 发表于 2023-3-31 11:27
对于 $AB=6$，$AC=BC=7$，$AD=8$，$BD=CD=4$ 画了个四面体的展开图，其中 $A_1E$ 垂直于 $BC$，$A_2F$ 垂 ...

并不是你想那样，如果你事先不知道六棱确定的体积公式，你能怎么做？通过这样作图就能确定了

我只图一个简单、好理解、快速、现成的、不需要画图。
所以才用的体积公式。

你的办法似乎需要用比较不错的画图软件。

nyy

hejoseph 发表于 2023-3-31 11:27
对于 $AB=6$，$AC=BC=7$，$AD=8$，$BD=CD=4$ 画了个四面体的展开图，其中 $A_1E$ 垂直于 $BC$，$A_2F$ 垂 ...

复杂不复杂只是你自己想的，方法给你你不要也不需要贬低，我不想讨论什么。

没贬低你的方法，只不过对于我来说，我觉得还是体积等于零这个方法好理解，
后来我又仔细研究了你的方法，我发现我还是能理解的，就是稍微费点劲罢了！
对于我来说，还是我的办法简单一些，因为我有现成的子函数！

王守恩

1,{a,b,c,x,y,z}={8,19,14,4,4,9},   四面体体积=?

1. Block[{a = 4, b = 4, c = 9, A = 8, B = 19, C = 14}, Sqrt[Det[{{0, a^2, b^2, C^2, 1}, {a^2, 0, c^2, B^2, 1}, {b^2, c^2, 0, A^2,1}, {C^2, B^2, A^2, 0, 1}, {1, 1, 1, 1, 0}}]/288]]
   
2. Block[{a = 8, b = 19, c = 14}, (a + b - c) (c + a - b) (b + c - a) (a + c - a)]
   
3. Block[{a = 8, b = 4, c = 9}, (a + b - c) (c + a - b) (b + c - a) (a + c - a)]
   
4. Block[{a = 19, b = 9, c = 4}, (a + b - c) (c + a - b) (b + c - a) (a + c - a)]
   
5. Block[{a = 14, b = 4, c = 4}, (a + b - c) (c + a - b) (b + c - a) (a + c - a)]

复制代码

得到这样一串数:  27,  13650,  1755,  -8064,  -4704,   算式可以简化吗？
2,四面体的6条边都是正整数，体积=39。来一个(我是怎么鼓捣，也出不来一个)？

王守恩

Block[{a = 2, b = 3, c = 4, A = 2, B = 4, C = 4}, Sqrt[Det[{{0, 1, 1, 1, 1}, {1, 0, A^2, B^2, C^2}, {1, A^2, 0, c^2, b^2}, {1, B^2, c^2, 0, a^2}, {1, C^2, b^2, a^2, 0}}]/288]]
四面体的6条边都是正整数,体积=00, {a,b,c,x,y,z}={02,03,04,02,04,04},
尊敬的nyy网友！这是一组解,体积=00的能再来几串(你那些“按钮”我还是不会用)?谢谢！

lihpb00

百度参考文献：单纯形构造定理的一 个证明

里面说的非常清楚

nyy

https://www.doc88.com/p-0127416388212.html
这是论文的链接