去掉端点后的康托三分集

KeyTo9_Fans

假设一开始的点集是$(0,1)$

去掉中间的$1/3$，包括端点，这样点集就只剩下$(0,1/3)$和$(2/3,1)$这两段

然后再去掉每段点集中间的$1/3$，包括端点，这样点集就只剩下$(0,1/9)$、$(2/9,1/3)$、$(2/3,7/9)$、$(8/9,1)$这四段
同理，再去掉每段点集中间的$1/3$，包括端点，剩余的点集为$(0,1/27)$、$(2/27,1/9)$、$(2/9,7/27)$、$(8/27,1/3)$、$(2/3,19/27)$、$(20/27,7/9)$、$(8/9,25/27)$、$(26/27,1)$这八段
……

上面这一过程经过无数次重复，最后剩下的点集，我们称之为“去掉端点后的康托三分集”

问：

(1) 还有哪些点永远都不会被去掉？举例说明。
(2) 这些永远都不会被去掉的点可列吗？
(3) 我们用$f(x)$表示$x$是第几轮被去掉的，例如$f(1/2)=1$，因为$1/2$是第$1$轮被去掉的，又如$f(1)=0$，因为$1$在第$1$轮还没开始就被去掉了，问$f(x)$这个函数是否可积？给定$a$如何求$\int_{-\infty}^a f(x)dx$的值呢？
(4) 设$p(x)=f(x)/3$，问如何编写一个程序，让它以$p(x)$为概率密度函数，生成$0$到$1$之间的随机数呢？

mathe

3进制表示，所有位上都是0或2的无限小数显然永远都不会被删除。于是问题2也很简单了。问题3也不难，每轮划掉的长度是知道的，积分是可以计算的。如果积分上限为a,我们同样需要知道a的三进制表示形式。