一道有趣的定积分

wayne

$int_0^{\oo}frac{f(x,2m-1)-sinx}{x^{2m+1}}\dx$其中，f(x,2m-1)表示sinx的2m-1阶泰勒展开

如m=1时，
$int_0^{\oo}frac{x-sinx}{x^3}\dx$
m=2时
$int_0^{\oo}frac{x-frac{x^3}{6}-sinx}{x^5}\dx$
借助软件我发现结果是：

$frac{\pi(-1)^{m-1}}{2(2m)!}$

期待大侠横空出世，给出证明。。。

creasson

wayne

creasson大侠 横空出世，
在注册账号的这最近2天 扫遍了emath论坛所有高难度微积分题！
扫到了近3年前的帖子！
多谢！！！

creasson

别捧我，我只是对积分级数感兴趣，碰巧捡了几块小石头而已。昨天才发现这个论坛，原来这里别有洞天，我发现许多大师都在这儿，邱教授，西西他们才是大侠，我只是来学习的，顺带打打酱油，呵呵，

wayne

邱教授，西西 是谁，在本论坛吗，{:3_47:}

creasson

网名分别是yinhow,tian27546

282842712474

我只是个高中生，对拉普拉斯变换只是有概念，不懂具体方法。
不过我还是一个费曼（一个天才的科学家）迷，他有一个“积分符号内取微分”的工具，我也学习了一下，我发现可以用到这个问题上。

我将问题一般化吧。假设有函数y=f(x)，求积分

$F(t)=\int_a^b \frac{f(0)+f'(0)(tx)+f''(0)\frac{(tx)^2}{2}+...+f^{(n)}(0)\frac{(tx)^n}{n!}-f(tx)}{x^{n+1}} dx$

我们有
$\frac{d F(t)}{dt}=$  

$\int_a^b \frac{f'(0)+f''(0)(tx)+...+f^{(n)}(0)\frac{(tx)^{n-1}}{(n-1)!}-f'(tx)}{x^n} dx$

连续n次微分得到
$\frac{d^n F(t)}{dt^n}=$

$\int_a^b \frac{f^{(n)}(0)-f^{(n)}(tx)}{x} dx$

对于某些情况，可以n+1次微分得到
$\frac{d^{n+1} F(t)}{dt^{n+1}}=$

$\int_a^b -f^{(n+1)}(tx) dx=-f^{(n)} (tx)|_a^b$

然后对变量t积分n次或n+1次即可，这个过程会得出多个积分常数。我们知道当t=0时原积分值为0，可以确定每一个积分常数都为0。

对于wayne的题目，f(x)=sin(x)，n=2m，$f^{(2m)}(x)=(-1)^m sin x$

$\frac{d^{2m} F(t)}{dt^{2m}}=$

$\int_0^{\infty} \frac{-(-1)^m sin (tx)}{x} dx$

（这里不能够再微分了，在微分会得到$-(-1)^m sin (tx)|_0^{\infty}$，这没有意义）

根据$\int_0^{\infty} \frac{sinx}{x}dx=\frac{\pi}{2}$

我们有
$\frac{d^{2m} F(t)}{dt^{2m}}=-(-1)^m\frac{\pi}{2}=(-1)^{m-1} \frac{\pi}{2}$

2m次积分后：$F(t)=\frac{(-1)^{m-1} \pi *t^{2m}}{2(2m)!}$

取m=1即可

wayne

7# 282842712474
，赞叹之，后生可畏呀！

“积分符号内取微分”
是说变限积分的吧。
当积分限是常数的话，是可以直接这么来的。

282842712474

什么叫变限积分？还没有学习高数，很多名词不懂^_^是不是指积分区间无穷的情况？积分符号内取微分可以用于积分区间有限的情况的…事实上，在《别闹了，费曼先生》中他本人对该方法评价很高，但是我学得不精，无法让各位体验更多了

282842712474

刚才搜索了一下，原来变限积分指的是积分区间也是用含有变量的代数式表示的。
“积分符号内取微分”的确可以用于变限积分，但是用于某些常限积分也很有效，比如
$\int_0^{\infty} \frac{sin x}{x}dx$就可以用它来积分出来。
当然最典型的例子是$\int_a^b \frac{x^t}{ln x}dx$