这样的A有多少个？

王守恩

mathe 发表于 2024-2-16 09:51
以前都搜索低位数值和比较大的方案，改为搜索高位数值和大的方案可以先找到
167032630943744043^2=27899899 ...

B(21)=538479339417=289959998978968689899889,
B(22)=1974763271886=3899689979989899957996996,
A(10)=4472135831667=19999998896879889759998889,
B(24)=14106593458167=198995978993999999978999889,
A(11)=62441868958167=3898986998988899589995999889,
B(26)=244744764757083=59899999875999896899998668889,
A(12)=836594274358167=699889979888867998799799599889,
B(28)=2445403011773313=5979995889989989998888898995969,
A(13)=9983486364492063=99669999989998948997699989995969,
B(30)=44698630849165614=1997967599789979898899879999996996,
B(31)=167032630943744043=27899899799988999988898998697985849,
A(14)=546806820540489417=298997698989598998998976689888999889,
A(15)=707106074079263583=499998999999788997978888999589997889,
嗨！A(14),A(15)还可以连着出来的！精心设计的循环节乱了！

1. Table[Ceiling[1/(33 - Total[IntegerDigits[9*n^2]]/9)], {n, 182268940180163139, 235702024693087861}]

复制代码

Power::infy: Infinite expression 1/0 encountered.   这个1/0就是我们要找的答案。
546806820540489417/3=182268940180163139,  707106074079263583/3=235702024693087861,

mathe

刚刚确认了第31项为
T(31)=167032630943744043^2=27899899799988999988898998697985849
以这个数字为例子，这是一个35位整数，数字和为31*9,
我们可以选择数字
G(31)=29999999999999999999999999999999999为目标
由于G(31)数字和为34*9+2,所以两者对应10进制位差值之和为3*9+2=29.
验证程序分成两部分
i) 遍历所有末11位和G(31)的10进制位差值之和不超过19的所有平方数，找出其中数字和为31*9的最小整数，程序成功找到了这个结果。
ii)遍历所有开始18位和G(31)的10进制位差值之和不超过14的所有平方数，找出其中数字和为31*9的最小整数，程序同样成功找到这个结果。
现在我们假设还有一个比T(31)还小的平方数和G(31)的10进制位差值之和为29，那么要么开始18位的差值之和不超过14，要么后17位的差值之和不超过15，从而最后11位的差值之和也不超过15（从而不超过19）。
也就是这两个程序合作成功验证了T(31)是最小的满足条件的第31项结果。

现在程序参数配置存在冗余是为了同时适应更多后续项的计算。

王守恩

数字串B(n): x*x各个数位上的数码和=9*B。求最小的B(n)。
数字串A(n): x*x各个数位上的数码和=9(x+A)。求最小的A(n)。
数字串A(n)是数字串B(n)的子集。为方便计算，数字串B(n)=数字串T(n)。
z=x*x的位数，x的高位数<sqrt{10}时, z=2*x-1; x的高位数>sqrt{10}时, z=2*x-0。
x是解题的关键，∵x*x各个数位上的数码和=9的倍数，∴x=3的倍数。
x*x的末尾不可能由连续的9组成，只能是89,69,96,49,...
B = x + A,  2*x - y=z
01=01+00, 2*01-1=01
02=02+00, 2*02-1=03
03=02+01, 2*02-0=04
04=03+01, 2*03-1=05
05=04+01, 2*04-1=07
06=04+02, 2*04-1=07
07=04+03, 2*04-0=08
08=05+03, 2*05-0=10
09=05+04, 2*05-0=10
10=06+04, 2*06-0=12
11=07+04, 2*07-1=13
12=07+05, 2*07-0=14
13=08+05, 2*08-1=15
14=08+06, 2*08-0=16
15=09+06, 2*09-1=17
16=09+07, 2*09-0=18
17=10+07, 2*10-1=19
18=10+08, 2*10-0=20
19=11+08, 2*11-1=21
20=11+09, 2*11-0=22
21=12+09, 2*12-1=24
22=13+09, 2*13-1=25
23=13+10, 2*13-0=26
24=14+10, 2*14-1=27
25=14+11, 2*14-0=28
26=15+11, 2*15-1=29
27=15+12, 2*15-0=30
28=16+12, 2*16-1=31
29=16+13, 2*16-0=32
30=17+13, 2*17-0=34
31=18+13, 2*18-1=35
32=18+14, 2*18-0=36
33=18+15, 2*18-0=36
34=19+15, 2*19-1=37
35=19+16, 2*19-0=38
36=20+16, 2*20-1=39
37=20+17, 2*20-0=40
38=21+17, 2*21-1=41

mathe

第32项应该为
435866837461509417^2=189979899998697868879998999979679889

王守恩

30=17+13, 2*17-0=34
31=18+13, 2*18-1=35
32=18+14, 2*18-0=36
33=18+15, 2*18-0=36
34有3种可能。
34=18+16, 不可能(14,15,16不可能会一起来吧?)。
34=19+15, 2*19-1=37, x=1,000,000,000,000,000,002/3--3,162,277,660,168,379,331/3。
34=19+15, 2*19-0=38, x=3,162,277,660,168,379,334/3--9,999,999,999,999,999,999/3。

1. SelectFirst[3*Range[1000000000000000002/3,3162277660168379331/3],Total[IntegerDigits[#^2]]/9≥34&]

复制代码

mathe

利用前面思路重新改写了程序，搜索所有不超过20位整数(平方不超过40位), (不限于3的倍数了）
一个程序是平方数后面一半（最多20位）十进制位缺失(离9的差距)不超过23，另外一个是平方数前面一半十进制位缺失（离9的差距）不超过22.
第一个程序搜索结果为:

1. 31        83
   
2. 34        167
   
3. 36        264
   
4. 37        314
   
5. 40        313
   
6. 43        707
   
7. 45        1374
   
8. 46        836
   
9. 49        1667
   
10. 52        2236
    
11. 54        3114
    
12. 55        4472
    
13. 58        6833
    
14. 61        8167
    
15. 63        8937
    
16. 64        16667
    
17. 67        21886
    
18. 70        29614
    
19. 72        60663
    
20. 73        41833
    
21. 76        74833
    
22. 79        89437
    
23. 81        94863
    
24. 82        134164
    
25. 85        191833
    
26. 88        298327
    
27. 90        545793
    
28. 91        547613
    
29. 94        947617
    
30. 97        987917
    
31. 99        1989417
    
32. 100        1643167
    
33. 103        3143167
    
34. 106        3162083
    
35. 108        5477133
    
36. 109        9272917
    
37. 112        9893887
    
38. 115        19672313
    
39. 117        20736417
    
40. 118        24060133
    
41. 121        29983327
    
42. 124        44271886
    
43. 126        82395387
    
44. 127        60827617
    
45. 130        99477133
    
46. 133        197222917
    
47. 135        260191833
    
48. 136        197483417
    
49. 139        434738887
    
50. 142        529027313
    
51. 144        706399164
    
52. 145        1370363813
    
53. 148        994927133
    
54. 151        2641873937
    
55. 153        2428989417
    
56. 154        2983284917
    
57. 157        5383305583
    
58. 160        8882454614
    
59. 162        9380293167
    
60. 163        14141757313
    
61. 166        21213179863
    
62. 169        31144643167
    
63. 171        28105157886
    
64. 172        59999833333
    
65. 175        69999835714
    
66. 178        94286790167
    
67. 180        99497231067
    
68. 181        134126805583
    
69. 184        240827299117
    
70. 187        244272388937
    
71. 189        538479339417
    
72. 190        806207101183
    
73. 193        926174913167
    
74. 196        1296109172867
    
75. 198        1974763271886
    
76. 199        2213594339417
    
77. 202        3144835432874
    
78. 205        3160522105583
    
79. 207        4472135831667
    
80. 208        5474468010583
    
81. 211        9892825177313
    
82. 214        13740377720386
    
83. 216        14106593458167
    
84. 217        22108798881667
    
85. 220        29999983333327
    
86. 223        75498211766822
    
87. 225        62441868958167
    
88. 226        70695827316667
    
89. 229        89324067192437
    
90. 232        218837793765083
    
91. 234        244744764757083
    
92. 235        314451904109293
    
93. 238        599999983333333
    
94. 241        608275330724417
    
95. 243        836594274358167
    
96. 244        943291047332683
    
97. 247        1360146675177313
    
98. 250        2167948082842133
    
99. 252        2445403011773313
    
100. 253        2641018364192114
     
101. 256        6927459779738887
     
102. 259        5375861596060663
     
103. 261        9983486364492063
     
104. 262        9949874270443813
     
105. 265        24474467305722917
     
106. 268        16733200200191833
     
107. 270        44698630849165614
     
108. 271        31622774688331667
     
109. 274        70494609012957083
     
110. 277        83066231922477313
     
111. 279        167032630943744043
     
112. 280        141062751917357687
     
113. 283        173117849451724613
     
114. 286        434729765140363813
     
115. 288        435866837461509417
     
116. 289        447213595487659543
     
117. 292        884872476574958167
     
118. 295        758946572361980563
     
119. 297        707106074079263583
     
120. 298        1224740788044510583
     
121. 301        2785480209927724417
     
122. 304        6230487846067753937
     
123. 306        5467172934890572764
     
124. 307        7063993189247842133
     
125. 310        9429681807356492126
     
126. 313        13037982934483960583
     
127. 315        14141782065920722917
     
128. 316        22331368049897411063
     
129. 319        29964628614384477133
     
130. 322        69280435174650779614
     
131. 324        77453069648658793167
     
132. 325        89441594903993074417
     
133. 331        94180040294109027313

复制代码

第二个程序搜索结果为

1. 25        113000
   
2. 27        108900
   
3. 28        111790
   
4. 31        108610
   
5. 34        104251
   
6. 36        103821
   
7. 37        102950
   
8. 40        102904
   
9. 43        102955
   
10. 45        102465
    
11. 46        102466
    
12. 49        102949
    
13. 52        102947
    
14. 54        102906
    
15. 55        102907
    
16. 58        102467
    
17. 61        102469
    
18. 63        103386
    
19. 64        103391
    
20. 67        104393
    
21. 70        104827
    
22. 72        103923
    
23. 73        104833
    
24. 76        133333
    
25. 79        129614
    
26. 81        141063
    
27. 82        134164
    
28. 85        191833
    
29. 88        298327
    
30. 90        545793
    
31. 91        547613
    
32. 94        947617
    
33. 97        987917
    
34. 99        1989417
    
35. 100        1643167
    
36. 103        3143167
    
37. 106        3162083
    
38. 108        5477133
    
39. 109        9272917
    
40. 112        9893887
    
41. 115        19672313
    
42. 117        20736417
    
43. 118        24060133
    
44. 121        29983327
    
45. 124        44271886
    
46. 126        82395387
    
47. 127        60827617
    
48. 130        99477133
    
49. 133        197222917
    
50. 135        260191833
    
51. 136        197483417
    
52. 139        434738887
    
53. 142        529027313
    
54. 144        706399164
    
55. 145        1370363813
    
56. 148        994927133
    
57. 151        2641873937
    
58. 153        2428989417
    
59. 154        2983284917
    
60. 157        5383305583
    
61. 160        8882454614
    
62. 162        9380293167
    
63. 163        14141757313
    
64. 166        21213179863
    
65. 169        31144643167
    
66. 171        28105157886
    
67. 172        59999833333
    
68. 175        69999835714
    
69. 178        94286790167
    
70. 180        99497231067
    
71. 181        134126805583
    
72. 184        240827299117
    
73. 187        244272388937
    
74. 189        538479339417
    
75. 190        806207101183
    
76. 193        926174913167
    
77. 196        1296109172867
    
78. 198        1974763271886
    
79. 199        2213594339417
    
80. 202        3144835432874
    
81. 205        3160522105583
    
82. 207        4472135831667
    
83. 208        5474468010583
    
84. 211        9892825177313
    
85. 214        13740377720386
    
86. 216        14106593458167
    
87. 217        22108798881667
    
88. 220        29999983333327
    
89. 223        75498211766822
    
90. 225        62441868958167
    
91. 226        70695827316667
    
92. 229        89324067192437
    
93. 232        218837793765083
    
94. 234        244744764757083
    
95. 235        314451904109293
    
96. 238        599999983333333
    
97. 241        608275330724417
    
98. 243        836594274358167
    
99. 244        943291047332683
    
100. 247        2364318019852657
     
101. 250        2167948082842133
     
102. 252        2445403011773313
     
103. 253        2641018364192114
     
104. 256        6927459779738887
     
105. 259        5375861596060663
     
106. 261        9983486364492063
     
107. 262        9949874270443813
     
108. 265        24474467305722917
     
109. 268        16733200200191833
     
110. 270        52440441455041833
     
111. 271        31622774688331667
     
112. 274        70494609012957083
     
113. 277        83066231922477313
     
114. 279        167032630943744043
     
115. 280        171755546926147336
     
116. 283        173117849451724613
     
117. 286        299999998333333327
     
118. 288        546806820540489417
     
119. 289        447213595487659543
     
120. 292        884872476574958167
     
121. 295        758946572361980563
     
122. 297        707106074079263583
     
123. 298        1224740788044510583
     
124. 301        2785480209927724417
     
125. 304        5999999998333333333
     
126. 306        5467172934890572764
     
127. 307        7063993189247842133
     
128. 310        9429681807356492126
     
129. 313        14067657941889253937
     
130. 315        14141782065920722917
     
131. 316        22331368049897411063
     
132. 319        29964628614384477133
     
133. 322        69280435174650779614
     
134. 324        77453069648658793167
     
135. 325        89441594903993074417
     
136. 331        94180040294109027313

复制代码

需要注意由于第二个程序由于直接从6位数开始搜索，对于小于6位数的结果会不正确。
我们可以合并两者结果，并且检查验证确认45的最大差距是足够的，从而可以得到 A067179更新结果

1. 14 83
   
2. 15 167
   
3. 16 264
   
4. 17 314
   
5. 18 313
   
6. 19 707
   
7. 20 1374
   
8. 21 836
   
9. 22 1667
   
10. 23 2236
    
11. 24 3114
    
12. 25 4472
    
13. 26 6833
    
14. 27 8167
    
15. 28 8937
    
16. 29 16667
    
17. 30 21886
    
18. 31 29614
    
19. 32 60663
    
20. 33 41833
    
21. 34 74833
    
22. 35 89437
    
23. 36 94863
    
24. 37 134164
    
25. 38 191833
    
26. 39 298327
    
27. 40 545793
    
28. 41 547613
    
29. 42 947617
    
30. 43 987917
    
31. 44 1989417
    
32. 45 1643167
    
33. 46 3143167
    
34. 47 3162083
    
35. 48 5477133
    
36. 49 9272917
    
37. 50 9893887
    
38. 51 19672313
    
39. 52 20736417
    
40. 53 24060133
    
41. 54 29983327
    
42. 55 44271886
    
43. 56 82395387
    
44. 57 60827617
    
45. 58 99477133
    
46. 59 197222917
    
47. 60 260191833
    
48. 61 197483417
    
49. 62 434738887
    
50. 63 529027313
    
51. 64 706399164
    
52. 65 1370363813
    
53. 66 994927133
    
54. 67 2641873937
    
55. 68 2428989417
    
56. 69 2983284917
    
57. 70 5383305583
    
58. 71 8882454614
    
59. 72 9380293167
    
60. 73 14141757313
    
61. 74 21213179863
    
62. 75 31144643167
    
63. 76 28105157886
    
64. 77 59999833333
    
65. 78 69999835714
    
66. 79 94286790167
    
67. 80 99497231067
    
68. 81 134126805583
    
69. 82 240827299117
    
70. 83 244272388937
    
71. 84 538479339417
    
72. 85 806207101183
    
73. 86 926174913167
    
74. 87 1296109172867
    
75. 88 1974763271886
    
76. 89 2213594339417
    
77. 90 3144835432874
    
78. 91 3160522105583
    
79. 92 4472135831667
    
80. 93 5474468010583
    
81. 94 9892825177313
    
82. 95 13740377720386
    
83. 96 14106593458167
    
84. 97 22108798881667
    
85. 98 29999983333327
    
86. 99 75498211766822
    
87. 100 62441868958167
    
88. 101 70695827316667
    
89. 102 89324067192437
    
90. 103 218837793765083
    
91. 104 244744764757083
    
92. 105 314451904109293
    
93. 106 599999983333333
    
94. 107 608275330724417
    
95. 108 836594274358167
    
96. 109 943291047332683
    
97. 110 1360146675177313
    
98. 111 2167948082842133
    
99. 112 2445403011773313
    
100. 113 2641018364192114
     
101. 114 6927459779738887
     
102. 115 5375861596060663
     
103. 116 9983486364492063
     
104. 117 9949874270443813
     
105. 118 24474467305722917
     
106. 119 16733200200191833
     
107. 120 44698630849165614
     
108. 121 31622774688331667
     
109. 122 70494609012957083
     
110. 123 83066231922477313
     
111. 124 167032630943744043
     
112. 125 141062751917357687
     
113. 126 173117849451724613
     
114. 127 299999998333333327
     
115. 128 435866837461509417
     
116. 129 447213595487659543
     
117. 130 884872476574958167
     
118. 131 758946572361980563
     
119. 132 707106074079263583
     
120. 133 1224740788044510583
     
121. 134 2785480209927724417
     
122. 135 5999999998333333333
     
123. 136 5467172934890572764
     
124. 137 7063993189247842133
     
125. 138 9429681807356492126
     
126. 139 13037982934483960583
     
127. 140 14141782065920722917
     
128. 141 22331368049897411063
     
129. 142 29964628614384477133
     
130. 143 69280435174650779614
     
131. 144 77453069648658793167
     
132. 145 89441594903993074417
     
133. 147 94180040294109027313

复制代码

mathe

注意到上次执行的数据范围内使用了45=22+23的最大差距，但是实际计算结果需要最大差距只有38，而提高最大差距会极大扩大搜索范围，所以把最大差距修改为38=19+19又重新运算了一次，并且扩大范围到22位整数，可以得到更多结果

1. 148 262087386170528775387
   
2. 149 223584183022838178583
   
3. 151 741551749981004224417
   
4. 152 754718284918279954614
   
5. 153 888142995231510436417
   
6. 155 2190638491396718286667
   
7. 156 2827719752694560960583
   
8. 157 2999999999833333333327
   
9. 158 2976388751488907738914
   
10. 159 8244385168100697671333
    
11. 160 8882505274864168010583

复制代码

需要注意的是结果中缺了146,150,154这三项，这是因为它们需要扩大最大差距到41才能够证明结果是最优的，而当前已经找到结果来看
其中146项和为328，两个程序分别搜索到
130268952475254048517和141067285353121437313，所以很大概率结果就是前者。
其中150项和为337，两个程序分别搜索到
445869918227278470386和435877272864734253937，所以很大概率结果就是后者。
而154项和为346，两个程序分别搜索到
1413081381198439327133和2236065473079869119063，所以很大概率结果就是前者。

northwolves

新纪录已同步到A369953, A369955

王守恩

B = x + A,  2*x - y=z
01=01+00, 2*01-1=01
02=02+00, 2*02-1=03
03=02+01, 2*02-0=04
04=03+01, 2*03-1=05
05=04+01, 2*04-1=07
06=04+02, 2*04-1=07
07=04+03, 2*04-0=08
08=05+03, 2*05-0=10
09=05+04, 2*05-0=10
10=06+04, 2*06-0=12
11=07+04, 2*07-1=13
12=07+05, 2*07-0=14
13=08+05, 2*08-1=15
14=08+06, 2*08-0=16
15=09+06, 2*09-1=17
16=09+07, 2*09-0=18
17=10+07, 2*10-1=19
18=10+08, 2*10-0=20
19=11+08, 2*11-1=21
20=11+09, 2*11-0=22
21=12+09, 2*12-1=24
22=13+09, 2*13-1=25
23=13+10, 2*13-0=26
24=14+10, 2*14-1=27
25=14+11, 2*14-0=28
26=15+11, 2*15-1=29
27=15+12, 2*15-0=30
28=16+12, 2*16-1=31
29=16+13, 2*16-0=32
30=17+13, 2*17-0=34
31=18+13, 2*18-1=35
32=18+14, 2*18-0=36
33=18+15, 2*18-0=36
34=19+15, 2*19-0=38
35=20+15, 2*20-1=39
36=20+16, 2*20-0=40
37=21+16, 2*21-1=41
38=21+17, 2*21-0=42
39=22+17, 2*22-1=43
40=22+18, 2*22-0=44

41有3种可能。
41=22+19, 2*22-0=44, x=8,882,505,274,864,168,010,586/3--9,999,999,999,999,999,999,999/3。
41=23+18, 2*23-1=45, x=10,000,000,000,000,000,000,002/3--31,622,776,601,683,793,319,987/3。
41=23+18, 2*23-0=46, x=31,622,776,601,683,793,319,990/3--99,999,999,999,999,999,999,999/3。

王守恩

mathe 发表于 2024-2-18 17:38
利用前面思路重新改写了程序，搜索所有不超过20位整数(平方不超过40位), (不限于3的倍数了）
一个程序是平 ...

观察26楼, 可知。
583^2=339889, 40/06=6.666666
59833^2=3579987889, 73/10=7.300000
5998333^2=35979998778889,106 /14=7.571428
599983333^2=359979999877788889, 139/18=7.722222
59999833333^2=3599979999987777888889, 172/22=7.818181
5999998333333^2=35999979999998777778888889, 205/26=7.884615
规律:  (40+33n)/(6+4n)=8.25+。
298327^2=88998998929, 88/11=8.000000
29983327^2=898999897988929, 121/15=8.066666
2999833327^2=8998999989779888929, 154/19=8.105263
299998333327^2=89998999998977798888929, 187/23=8.130434
29999983333327^2=899998999999897777988888929, 220/27=8.148148
2999999833333327^2=8999998999999989777779888888929, 253/31=8.161290
规律:  (88+33n)/(11+4n)=8.25+。
我们这串数也应该有某种规律。
01=01+00, 2*01-1=01
02=02+00, 2*02-1=03,02*9/03=6.000000
03=02+01, 2*02-0=04
04=03+01, 2*03-1=05,04*9/05=7.200000
05=04+01, 2*04-1=07
06=04+02, 2*04-1=07,06*9/07=7.714285
07=04+03, 2*04-0=08
08=05+03, 2*05-0=10,08*9/10=7.200000
09=05+04, 2*05-0=10
10=06+04, 2*06-0=12,10*9/12=7.500000
11=07+04, 2*07-1=13
12=07+05, 2*07-0=14,12*9/14=7.714285
13=08+05, 2*08-1=15
14=08+06, 2*08-0=16,14*9/16=7.875000
15=09+06, 2*09-1=17
16=09+07, 2*09-0=18,16*9/18=8.000000
17=10+07, 2*10-1=19
18=10+08, 2*10-0=20,18*9/20=8.100000
19=11+08, 2*11-1=21
20=11+09, 2*11-0=22,20*9/22=8.181818
21=12+09, 2*12-1=24
22=13+09, 2*13-1=25,22*9/25=7.920000
23=13+10, 2*13-0=26
24=14+10, 2*14-1=27,24*9/27=8.000000
25=14+11, 2*14-0=28
26=15+11, 2*15-1=29,26*9/29=8.068965
27=15+12, 2*15-0=30
28=16+12, 2*16-1=31,28*9/31=8.129032
29=16+13, 2*16-0=32
30=17+13, 2*17-0=34,30*9/34=7.941176
31=18+13, 2*18-1=35
32=18+14, 2*18-0=36,32*9/36=8.000000
33=18+15, 2*18-0=36
34=19+15, 2*19-0=38,34*9/38=8.052631
35=20+15, 2*20-1=39
36=20+16, 2*20-0=40,36*9/40=8.100000
37=21+16, 2*21-1=41
38=21+17, 2*21-0=42,38*9/42=8.142857
39=22+17, 2*22-1=43
40=22+18, 2*22-0=44,40*9/44=8.181818