A、B、C三个人一起玩游戏

KeyTo9_Fans

A、B、C三个人都是绝顶聪明的，他们在一起玩游戏。

游戏采用回合积分的方式，积分高者胜。

游戏共进行n回合，n足够大，即n→∞。

记A、B、C采取的策略在n个回合中的积分期望值分别为Sa、Sb、Sc。

游戏1：

每一回合3人各自从[-1,1]中选一实数，设为a、b、c。

选好后一起公开，按如下方法计算每个人在此轮的得分：

A的得分为min{|a-b|,|a-c|}；

B的得分为min{|b-a|,|b-c|}；

C的得分为min{|c-a|,|c-b|}。

问题1.1：

若B和C联合起来对付A，即他们可以互相商量对策，问他们有没有策略使得(Sa<Sb且Sa<Sc)？若有，给出其中一个策略。

问题1.2：

3人独立思考自己的策略。A希望Sa≥Sb≥Sc；B希望Sb≥Sc≥Sa；C希望Sc≥Sa≥Sb。那么他们各自的策略是什么？

游戏2：

设f是一个随机函数，定义域是(0,1)。

f(x)有(1-x)的概率等于0，有x的概率等于(1-x)。

例如：

当x=0.3时，f(x)有0.7的概率为0，有0.3的概率为0.7；

当x=0.8时，f(x)有0.2的概率为0，有0.8的概率为0.2。

每一回合3人各自从(0,1)中选一实数，设为a、b、c，选好后一起公开。

然后比较f(a)、f(b)、f(c)的大小。（每个f互不影响，它们都是独立的。）

函数值最大者在此轮得1分，其余得0分。

若有两个并列的最大值，则他们俩各得0.5分，剩下一人得0分。

若三个值都相等，则3人各得1/3分。

问题2.1：

若B和C联合起来对付A，即他们可以互相商量对策，问他们有没有策略使得2Sa<Sb+Sc？

问题2.2：

若问题2.1回答有，那么给出其中一个策略；若问题2.1回答没有，那么给出A的策略。

更多的游戏正在设计中。欢迎提供素材。要求规则比较清晰简洁，决策是连续量，分析最佳策略的过程比较有趣。

geslon

抛块砖呗。
问题1.1 很简单吧。由于对于每一轮，三个人的得分至少有两个等于min{|a-b|,|b-c|,|c-a|}<=1，所以B C联合对付A的策略就是让保证|b-c|>1即可。比如第一轮B选择-0.9，C选择+0.8，这样A无论怎么选，都至少和BC中的一人相等，即，本轮必有A=B<=C，或者A=C<=B。等号仅在A的取点恰在B和C的正中间时成立。经过n轮，Sa<Sb且Sa<Sc是很容易预期的。
给出一个策略，比如：
第一轮，B=-0.9，C=+0.8
第二轮，B=-0.832，C=+0.7013（这些小数没有特别的意义，只是为了不让A猜到中间点，呵呵）
第三轮，B=+1，C=-1（要注意无规律对换B，C取值的正负）
第四轮，......
随机的对换BC取值的正负，是因为如果不对调，即B总是<0，C总是>0的话，万一A的策略是一直取值-1，最后一定会Sa=Sb<Sc。