形如$ax^2+bx+c$的完全平方数

KeyTo9_Fans

设$f(x)=5x^2+14x+1$，定义域为正整数。

把使得$f(x)$为完全平方数的$x$排成一列：

2, 5, 21, 42, 152, 296, 1050, 2037, 7205, 13970, ......

那么相邻两数之比有两个极限$k_1$和$k_2$：$k_1=1.9388$，$k_2=3.5354$

若设$f(x)=ax^2+bx+c$，且具有上述特点。

问：

$a$、$b$、$c$要满足什么条件？

$k_1$和$k_2$与$a$、$b$、$c$有什么关系？

有没有$k_1=k_2$的情况？（$x=1,2,3,4,5,...->k_1=k_2=1$这种情况除外）

mathe

查看Pell方程相关内容

geslon

不说复杂的，比如f(n)=n^2，即a=1，b=0，c=0，就是k1=k2的情况，很简单啊。
还有，比如当a为完全平方数，b=0的时候，无解或最多一组解，无法计算k1和k2。
例如：f(n)=4n^2+3无解，f(n)=4n^2+5有一解（n=1）。

mathe

点标签: Pell方程,可以找到一篇"奇妙的平方数拆分组合(内含Pell方程链接)",
通过这个可以找到一个求解二次丢番图方程的网页:
http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM
可以求出
$5x^2-y^2+14x+1=0$的通解为
$(x_0=0,y_0=-1)$或$(x_0=0,y_0=1)$或$(x_0=-3,y_0=-2)$或$(x_0=-3,y_0=2)$或$(x_0=-4,y_0=-5)$或$(x_0=-4,y_0=5)$或$(x_0=2,y_0=-7)$或$(x_0=2,y_0=7)$
然后使用递推式
${(x_{n+1}=-9x_n-4y_n-14),(y_{n+1}=-20x_n-9y_n-28):}$

medie2005

我猜KeyTo9_Fans是搜了我的ID，找到了http://topic.csdn.net/u/20090202 ... 7-431713af0289.html，然后想推广解决。
是否？

wayne

可以这么变：
$4a*(ax^2+bx+c)=4ay^2$
即
$(2ax+b)^2-4ay^2=b^2-4ac$
而Pell方程$X^2-D y^2=n$可以比较容易得出通解
再在通解中找出满足2ax+b=X的情况即可。。。

$(5x+7)^2-5y^2=44$

KeyTo9_Fans

我猜KeyTo9_Fans是搜了我的ID，找到了http://topic.csdn.net/u/20090202 ... 7-431713af0289.html，然后想推广解决。
是否？
medie2005 发表于 2010-1-4 12:59

你差点把我吓坏了！

原题来自某次在线数学竞赛，竞赛在2月4日18时开始，你竟然在2月2日20时就把原题发出来了！

参见……

http://tieba.baidu.com/f?kz=320042460

……第三题。

仔细一看才发现原来是年份差了1......

差点没把我吓坏。

wayne

得到的x的递推式子是
$x_{n+5}=x_{n+4}+7 x_{n+3}-7 x_{n+2}-x_{n+1}+x_{n}$
前50个是：
{2, 5, 21, 42, 152, 296, 1050, 2037, 7205, 13970, 49392, 95760,
338546, 656357, 2320437, 4498746, 15904520, 30834872, 109011210,
211345365, 747173957, 1448582690, 5121206496, 9928733472,
35101271522, 68052551621, 240587694165, 466439127882, 1649012587640,
3197021343560, 11302500419322, 21912710277045, 77468490347621,
150191950595762, 530976932014032, 1029430943893296, 3639370033750610,
7055824656657317, 24944613304240245, 48361341652707930,
170972923095931112, 331473566912298200, 1171865848367277546,
2271953626733379477, 8032088015475011717, 15572201820221358146,
55052750259957804480, 106733459114816127552, 377337163804229619650,
731562011983491534725}

wayne

找到了一个更简单的递推式子：

$x_{n+4}=7x_{n+2}-x_{n}+7$

wayne

发现你这题蛮有意思的,相间的两项(即偶数项或奇数项)之比只与特征方程有关，为
$\frac{1}{2} (7+3 \sqrt{5})$
而相邻的两项之比则还与基础解，即递推公式的初始值有关。
$k_1=\frac{1}{22} (27+7 \sqrt{5})=1.9387489019317512670$
$k_2=\frac{1}{11}(21+8 \sqrt{5})=3.5353221654543925065$