三角形内两两相切的圆

wiley

20# hujunhua

$s$ 应该还是原来的 ${a+b+c}/2$ , 所以 $a_1=s-a$ , $b_1=s-b$ , $c_1=s-c$ , 代入你的式子后得到:

$r_1={(s-b)(s-c)(\sqrt{s(s-a)}+\sqrt{s(s-a)+(s-b)(s-c)}-\sqrt{(s-b)(s-c)}) }/{(\sqrt{s(s-b)}+\sqrt{s(s-b)+(s-c)(s-a)}-\sqrt{(s-c)(s-a)})(\sqrt{s(s-c)}+\sqrt{s(s-c)+(s-a)(s-b)}-\sqrt{(s-a)(s-b)})}$
$={(s-b)(s-c)(\sqrt{s(s-a)}+\sqrt{bc}-\sqrt{(s-b)(s-c)}) }/{(\sqrt{s(s-b)}+\sqrt{ca}-\sqrt{(s-c)(s-a)})(\sqrt{s(s-c)}+\sqrt{ab}-\sqrt{(s-a)(s-b)})}$

又 $1/2(\sqrt{s(s-a)}+\sqrt{bc}-\sqrt{(s-b)(s-c)})(\sqrt{bc}+\sqrt{(s-b)(s-c)}-\sqrt{s(s-a)})=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ , 所以我们得到的式子是等价的.

不知道你的疑惑是不是因为16楼的 $L$ 第一项(好像有点问题, 另外分子分母的 $a,\ b,\ c$ 顺序也有点问题).

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Mathworld上的.nb文件有给一个例子可以用来验证(Fukagawa & Pedoe): $a=507\ b=375\ c=252$ , 对应的 $r_1=64\ r_2=225/4\ r_3=36$ ;
另外对于等边三角形 $a=b=c=1$ , 对应的 $r_1=r_2=r_3={\sqrt{3}-1}/4$ .

hujunhua

21# wiley


在18#之后我已验算过你的公式，确是正确的，冤枉你了，不好意思。
我重新推导的公式只是基于16楼的想法，欲有所优化而已。

关于17#的评价函数，最容易想到的是“面积/周长^2”乘上一个归一化系数。
用20楼的符号，$f(a,b,c)=sqrt{(abc)/{(s//3)^3}}$.   
$ s=a+b+c$为半周长。s/3就是a,b,c的算术平均值。

一般来说，外三角形ABC越扁，生成的内三角形A1B1C1越扁。△ABC最扁的情况莫过于a,b或者c=0，即有两边之和等于第3边时，这时△退化成一条双重线段，面积=0，从而f(a,b,c)=0。也许此时f(r1,r2,r3)取到最小值。利用20#的公式计算了一下$a->0$时的极限, 得到r1:r2:r3=1:4:4, 相应的△A1B1C1的边长比为5:5:8，$f(r_1,r_2,r_3)=4/9\sqrt{3}$≈77%。

我猜想，这就是f(r1,r2,r3)的最小值了。也就是说，△A1B1C1最扁也不会扁过边长5：5：8的三角形，即接近正三角形的程度最少达到77%（弱）。

数学星空

数学星空

下图是迭代计算的新三圆半径表:
楼上的图也是根据此表绘制:

wiley

24# 数学星空


麻烦楼上可不可以把最后收敛的那个点的坐标也列一下啊?

数学星空

hujunhua

关于那个收敛中心，先从等腰三角形入手比较省力，毕竟已知它所在的一条直线（底边上的高）。解决等腰情形后，也许可以从中得到一些启示。

wayne

此题很有趣

wayne

27# hujunhua
要求收敛点，我们还是从坐标入手为好，这样可以跟踪一下收敛的中间过程。

坐标的选择要保证两点：
1、参数尽可能的少 ，使得计算简洁
1、参数尽可能的对称，使得计算结果也对称。

ejsoon

根據上述信息，我由於程度低讀的不是很懂，但我知道應該可以尺規作圖，只是會很煩瑣。

另我在一本書上看到了Malfatti's Problem即三角形內三個圓最大面積問題已解決，它講每次都最大限度畫一個圓，這種貪婪畫法得到三個圓的面積是最大的。