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[原创] 最佳的下注策略

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发表于 2010-3-2 14:58:20 | 显示全部楼层 |阅读模式

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假设有一个期望收益为正的赌博游戏,下注金额可以是任意实数。

每次下注都有$60%$的概率赢得一倍的下注金额,但有$40%$的概率赔掉下注的金额。

比如下注$1$块钱,有$60%$的概率拿回$2$块钱,有$40%$的概率输掉下注的$1$块钱。

游戏开始的时候只有$1$块钱,有$N$次下注机会。

游戏过程中不允许借钱。

如果中途不小心把钱输光,就永远没有翻身的机会了。

现在有另一位绝顶聪明的对手也在一起玩这个游戏。

玩的过程中大家都只知道自己的输赢和钱数,不知道对方的输赢和钱数。

各自下注完$N$个回合后才公开自己的钱数。

我们希望$N$个回合后自己的钱比对方的钱多。

问应该采取怎样的下注策略?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-3-2 16:17:06 | 显示全部楼层
每次是否可以不下注?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-3-2 16:20:25 | 显示全部楼层
还有出现平局时候的权重如何计算呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-3-2 16:23:20 | 显示全部楼层
那你就各种情况下都考虑一下好了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-3-2 16:25:59 | 显示全部楼层
理论上任何金额数都可以下,不受最小单位是分的限制。

所以下注金额为$0$也是允许的,甚至是负数也允许,但这样好像会吃亏。

为了不把问题变复杂,规定下注金额最小为$0$,最大为当前的钱数。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-3-2 17:32:31 | 显示全部楼层
我看只能拼人品
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-3-2 17:47:42 | 显示全部楼层
没有注意到实数这个条件,那么的确不需要考虑平局的因素。
不过N=1时候的计算已经有点麻烦了。
对于N=1,我们假设两个人的策略分别是以f(x)和g(x)的概率下注x,其中$0<x<1$,
由于局面对两个人对等,最佳策略下,必然有对于任意g(x)都有
$int_0^1 0.6f(x)dx int_0^xg(y)dy>=0.5$
记$G(x)=int_0^xg(y)gy$,那么G(0)=0,G(1)=1,而且G(x)单调。
我们分别选择$G(x)={1-exp(-sx)}/{1-exp(-s)}$代入,其中s>0
得到${1-L(f)(s)}/{1-exp(-s)}>=5/6$
而我们只要取f为$1-5/6(1-exp(-s))$的Laplace逆变换就可以满足条件。
这个就是N=1的解,谁来计算一下?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-3-2 19:18:36 | 显示全部楼层
当$N=1$时,不就直接压$1$块钱就可以了吗?

如果压赢了,则无论对方压多少,都是我方钱多。

所以我方胜率恒为$60%$。

但对方不是笨蛋,所以对方也会跟着压$1$块钱。

于是最终结果是大家都压$1$块钱。

结果是我方有$24%$的概率获胜,$24%$的概率落败,$52%$的概率与对方打平。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2010-3-3 09:47:45 | 显示全部楼层
设第i次投注x,每次收益期望:20% X
如果输了,则损失了后N-i次继续收益的机会,为X ( 20%)^(N-i)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2010-3-3 09:57:24 | 显示全部楼层
这个题目算期望意义不大。如果只算期望,显然每次压做多最好,但是收益大风险也大,那样失败一次就完全丧失机会了。
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