郁闷的微分方程

282842712474

${d^2x}/{dt^2}=-x/{(x^2+y^2)^{(3/2)}}$————————A

${d^2y}/{dt^2}=-y/{(x^2+y^2)^{(3/2)}}$————————B

用极坐标变换A，书中的结果为：

$r''-(\theta' )^2 r=-1/{r^2}$

我推来推去都不知道怎么得来的？？？

wayne

$x=r*\cos\theta$
$y=r*\sin\theta$
${dx}/{dt}=r'*\cos\theta-\theta'*r*\sin\theta$
${dy}/{dt}=r'*\sin\theta+\theta'*r*\cos\theta$
......................
对上面的导数再求导，分别乘以cos,sin,相加，
结合下面的式子 即可得到你的答案

${d^2x}/{dt^2}=-{\cos\theta}/{r^2}$
${d^2y}/{dt^2}=-{\sin\theta}/{r^2}$

282842712474

乘以cos,sin,？

wayne

3# 282842712474


是$\sin\theta,\cos\theta$,
没必要写那么清楚吧
貌似你没有用心哦~~

数学星空

x=r*\cos\theta
y=r*\sin\theta
{dx}/{dt}=r'*\cos\theta-\theta'*r*\sin\theta
{dy}/{dt}=r'*\sin\theta+\theta'*r*\cos\theta
......................
对上面的导数再求导，分别乘以cos,sin,相加，
结合下面 ...
wayne 发表于 2010-3-12 10:39

设$x=r*cos(\theta),y=r*sin(\theta)$........(00)
有$x^2+y^2=r^2$代入原方程
$x"=-cos(\theta)/r^2$,$y"=-sin(\theta)/r^2$........(0)
对$(00)$关于t求导
$x'=r'*cos(\theta)-(\theta)'*r*sin(\theta)$..........(1)
$y'=r'*sin(\theta)+(\theta)'*r*cos(\theta)$..........(2)
$(1),(2)$再次对t求导
$x''=r''*cos(\theta)-2*r'*(\theta)'*sin(\theta)-(\theta)''*r*sin(\theta)-$
          $((\theta)')^2*r*cos(\theta)$.....................(3)
$y''=r''*sin(\theta)+2*r'*(\theta)'*cos(\theta)+(\theta)''*r*cos(\theta)-$
         $ ((\theta)')^2*r*sin(\theta).$....................(4)
$(3)*cos(\theta)+(4)*sin(\theta)$得
$x''cos(\theta)+y''sin(\theta)=r"-((\theta)')^2*r$.....(5)
又由$(0)$有
$x''cos(\theta)+y''sin(\theta)=-1/r^2$.......(6)
对比$(5),(6)$即有
$r"-((\theta)')^2*r=-1/r^2$

倪举鹏

一看就知道是二体问题的方程组  解为圆锥曲线