整点直角三角形

hujunhua

首先，我们需要知道将$n^2=X^2+Y^2$的所有分解方案，这个通过对n的因子分解可以做到，可以参考:http://blog.csdn.net/mathe/archive/2007/06/06/1641160.aspx
mathe 发表于 2010-6-11 18:16

X，Y互换只算一种，记所有方案数为b(n)

设n有t个4m+1型素因子，重数依次为k_i, (i=1, 2, ..., t). 那么$b(n)=1/2(\prod (2k_i+1)-1)$

推论：圆$X^2+Y^2=n^2$上共有整点$4\prod (2k_i+1)$个。
记$\Pi=prod (2k_i+1)$，供偶后续帖子中引用。

hujunhua

$n=X^2+Y^2$的所有分解方案数记为a(n),  (X，Y互换只算一种）。n如有4m+3型素因子p，重数皆为偶数。

设n有t个4m+1型素因子，重数依次为k_i, (i=1, 2, ..., t)，2的重数为k. 那么
1、k为偶数时，$a(n)="floor"({\prod (k_i+1)}/2)$
2、k为奇数时，$a(n)="ceiling"({\prod (k_i+1)}/2)$

推论：圆$X^2+Y^2=n$上共有整点
1、k为偶数时，$4\prod (k_i+1)$
2、k为奇数时，$4(\prod (k_i+1)-1)$

mathe

54#的表示方法可以改成
$n^2=d^2(u^2+v^2)(a^2+b^2)$,
其中(a,b)=1,(u,v)=1,u>0,v>0.

由此，将n因子分解以后，解的数目将由n是否是偶数以及n的模4为1的素因子的数目以及它们的次数来决定
比如39只含有一个模4为 ...
mathe 发表于 2010-6-13 15:27

如56#,关键在于对于一个形如4k+1的素因子p,如果其次数为k($k>=1$),我们需要计算f(k),也就是当$n=p^k$时，对应不同的整点直角三角形的数目。
对于$a^2+b^2$这一项,p使用的次数可以是0,这时,$u^2+v^2$使用的p的次数可以是2,4,...,2k共k种不同的情况，而且对于每一种，有两种不同选择，所以共贡献2k种可能。
同样，对于$a^2+b^2$这项，如果p使用的次数分别为2,4,...,2k-2,那么$u^2+v^2$使用p的次数的选择可以分别有k-1,k-2,...,1种，每个有四种选择，共贡献2k(k-1)种可能。
同样对于$a^2+b^2$这项，如果p使用的次数分别为1,3,...,2k-1,那么$u^2+v^2$使用p的次数的选择可以分别有k,k-1,...,1中，每个有四种选择，共贡献2k(k+1)种可能。如果再考虑u,v和a,b同时交换应该等价，应该需要除以2，总共累计有$f(k)=2k^2+k$.比如f(3)=21,所以n=125对应的情况有21种不同情况（如果再考虑每种情况可以四个方向旋转那么共84个解）

hujunhua

如果只考虑不全等的三角形的数量，没有这么复杂。mathe过虑了。

mathe

差不多的，我考虑的是本题（采用后面大家一直采用的方案，如果两个直角三角形，对应边形成的向量不同，即或者长度不同，或者方向不同，就认为不同），而不是$n=X^2+Y^2$的分解，只是前面还有错误，完了考虑多个素因子时，其中任何一个对$u^2+v^2$贡献可以是0次
所以f(k)需要在加g(k)=2k+1,但是最后需要再次减去所有g(k)的乘积（也就是所有素因子对$u^2+v^2$贡献都是0次）
于是对于奇数n的所有4k+1型的素因子，如果它们次数分别为$k_1,k_2,...,k_t$,那么总数目应该是
$2(\prod_{i=1}^t(4k_i^2+4k_i+1)-\prod_{i=1}^t(2k_i+1))$

hujunhua

对于任意的这样三角形，我们总可以将直角的顶点移动到原点，假设另外两点坐标为(ua,ub),(-vb,va), (uv≠0),  那么n²=(u²+v²)(a²+b²)
mathe 发表于 2010-6-11 18:16

这个三角形的两直角边长为$u\sqrt{a^2+b^2}, v\sqrt{a^2+b^2}$, 两直角边之比为u/v。不妨设u/v为既约分数，即Gcd(u, v)=1.  这就是说，n²的每个形如u²+v²的因子（Gcd(u, v)=1）都正好对应着一种形状的整点直角三角形。所以问题归结为n²所含这种因子的数量。

mathe

66#的发现不错，就是说用这种方法还可以统计不考虑方向，只考虑形状的不同三角形数目（前面我的计算是不同方向看成不同的）

hujunhua

59#的结果就是用66#的方法得到的

hujunhua

有必要将过滤规则厘清一哈, 分别定义符号, 以便交流。否则都说岔了。
记Total={斜边长为n的整点直角三角形}，然后以变换群定义的等价关系来划分等价类，统计类数。
1、楼主所问的“一共有多少形式”，即全等类的类数。前面已记为s(n)。
2、在平移变换作用下形成平移类。类数记为move(n).
3、在{平移、轴反射、旋转90度}生成的对称群作用下形成对称类。类数记为sy(n).

hujunhua

n为偶数时平移类的类数

设n=2r, 不妨以斜边中点在原点的三角形为代表。这时3个顶点都是圆$x^2+y^2=r^2$上的整点，其中两锐角顶点——即斜边端点，关于原点对称，是圆的一条整点直径。所以圆$x^2+y^2=r^2$上的任意两条整点直径都决定了一个整点矩形和4个整点直角三角形。（待续）
按61#的推论，圆$x^2+y^2=r^2$上共$4\Pi$  个整点，$2\Pi$ 条整点直径，所以平移类的类数$move(n)=4((2\Pi),(2))=4\Pi(2\Pi-1)$