凑百分概率游戏

KeyTo9_Fans

假设我们要凑$100$积分。 有一个赚积分的机器，工作机制如下： ———————————————————————————————— 每次输入一个不小于$1$的实数$x$，就有$1/x$的概率获得$x$的积分。 ———————————————————————————————— 例如，输入$5$就有$20%$的概率获得$5$分，输入$1$就直接得$1$分。 现在给你$10$次赚分机会。 问能获得$100$积分的概率是多少？赚分策略是怎样的？ 如果给你$50$次赚分机会，能获得$100$积分的概率是多少？策略是怎样的？

hujunhua

看来剩下的(1-1/x)的概率是得0分了。 如果前9次就积到100分了，第10次机会可以放弃么？应该可以吧，否则，就算第10次输入10000，万一得分了岂不溢死了。

KeyTo9_Fans

是的，剩下$(1-1/x)$的概率得$0$分。 可以放弃机会，但我觉得不必要。

mathe

这个不难，动态规划即可，是否也可以分析一下积分很大的情况

mathe

没有注意到x可以是任意实数。如果这样，动态规划只能得到近似值了。

mathe

有个问题，积分超出算不算完成任务？比如得到100.2分？

mathe

假设积分超出也算完成，那么积分目标为T,给定步数为K(K=T$时，概率为1）。而策略时，如果余下步数为k,而还需要积分t(k

hujunhua

1<=x<=100, 1<=n<=100.(n为次数），n次成功概率记为P(n)。n=1 或100不用说，需要要考虑的是n=2~99. 实际上不能取99

mathe

如果要求积分正好达到目标才能够算完成，那么7#的策略对于$T>=K$还是有效的，但是对于$T

KeyTo9_Fans

同意楼上的答案。 无论我们怎么选择$x$，每次赚取积分的期望值都是$1$。 玩$10$次能赚取积分的期望值是$10$。 如果我们玩$10$次能以超过$0.1$的概率赚取$100$分， 那么就说明我们玩$10$次能赚取积分的期望值大于$100$×$0.1$=$10$， 这与赚分机器的工作机制不符。 所以最多以$0.1$的概率赚$100$分。 事实上我们采取的策略在其余$0.9$的概率下，得分都是$0$。 说明我们为了达成目标，一点积分也没有浪费，已经达到骗取积分的最高境界了。 玩$50$次也是类似的，$0.5$的概率得$100$分，$0.5$的概率得$0$分。