连分数趣题一则

wayne · 发表于 2010-8-13 10:06:39

关于差分方程$a_{n+1}=n*a_n+a_{n-1}$的解法，呵呵，根据9楼的无穷和式，有一个事后诸葛的方法

wiley · 发表于 2010-8-15 12:53:39

wayne, 很多系数有规律的连分数都可以通过高斯超几何函数 (hypergeometric function) 来推导, 统称为高斯连分数.

关于所讨论的这两个连分数, 详见 wikipedia [注意到 $i^nJ_\nu(iz)=I_\nu(z)$ ]. 做变量代换之后, 可以写成:

${z\ J_1(2z)}/{J_0(2z)}=z^2/{1-z^2/{2-z^2/{3-\cdots}}}$

$z\ \tan(z)=z^2/{1-z^2/{3-z^2/{5-\cdots}}}$

然后代入 $iz$, 所有减号变加号, 三角变双曲, 贝塞尔变modified贝塞尔

wayne · 发表于 2010-8-15 18:41:57

Wiley太有才了！！

wayne · 发表于 2013-3-5 13:34:15

重读旧帖，很享受当初的那份意外收获的感动。

hujunhua · 发表于 2013-3-5 15:29:31

重读旧贴，很惊讶自己居然在此有过跟帖，班门弄斧之事忘得一点影子都没有了。

wayne · 发表于 2013-3-6 10:29:36

15# hujunhua

老大，你折煞我了,...

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