不能回到起点

hujunhua

当N为奇素数时，一方面x≡y(modN)会使得上式成立，表明数列n(n+3)/2(modN)最小循环节长为N。另一方面还有x+y+3≡0(mod N)使上式成立，表明在长为N的循环节中恰好(N-1)/2对（x, y），x≠y(modN)但踩点相同，即数列n(n+3)/2只能覆盖$Z_N$中的(N+1)/2个，还有(N-1)/2点覆盖不到（即其中任何一点都是永远踩不到的，且称为盲点）。

若N不是2的幂，当奇素数p|N时，由n(n+3)/2≡B(mod N)→n(n+3)/2≡B(mod p)的逆否命题知，p圈上的(p-1)/2个盲点也是N圈上的盲点。

当N是2的幂时，(x-y)(x+y+3)/2≡0(mod N)←→(x-y)(x+y+3)≡0(mod2 N).
一方面，x≡y(mod2N)会使得上式成立，表明数列n(n+3)/2(modN)的最小循环节长度为2N
另一方面，x≠y(modN)则当且仅当(x+y+3)≡0(mod2 N)，表明一个循环节内恰有N对（x, y）踩点相同，表明数列(n+3)/2恰好可覆盖$Z_N$，即这种情况下没有盲点。

hujunhua

按9#和11#的分析，3#是有错误的，有比1009更小的答案，希望提问者能自己理出来。

liexi20101117

您上面的解释，我理解有些困难了，但我会试着找找那个更小的数的。
谢谢了。
这论坛是个好地方呀，有问题时，都能及时有人帮你解答。
再次谢谢了。